Przekształcenie konforemne
Przekształcenie konforemne
Jak uzasadnić, że funkcja \(\displaystyle{ f(z)= z^{2} }\) nie przekształca konforemnie \(\displaystyle{ D(0,1) \setminus (-1, -\frac{1}{2} ]}\) na \(\displaystyle{ D(0,1) \setminus [ \frac{1}{4},1) }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Re: Przekształcenie konforemne
Pochodna \(\displaystyle{ f}\) zeruje się w punkcie 0 więc nie może być tam konforemna i można to tutaj tak uzasadnić.
Niech \(\displaystyle{ a=0}\), \(\displaystyle{ b= i t}\), \(\displaystyle{ c=(1+i)t}\) będą wierzchołkami trójkąta . Tangens kąta \(\displaystyle{ \angle acb}\) jest 1. \(\displaystyle{ f}\) przekształca ten trójkąt w trójkąt \(\displaystyle{ a'b'c'}\) o wierzchołkach \(\displaystyle{ a'=0}\), \(\displaystyle{ b'=-t^2}\), \(\displaystyle{ c'=2i t^2}\). Tangens kąta \(\displaystyle{ \angle a'c'b'}\) jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), więc kąty nie zawsze są zachowywane.
Niech \(\displaystyle{ a=0}\), \(\displaystyle{ b= i t}\), \(\displaystyle{ c=(1+i)t}\) będą wierzchołkami trójkąta . Tangens kąta \(\displaystyle{ \angle acb}\) jest 1. \(\displaystyle{ f}\) przekształca ten trójkąt w trójkąt \(\displaystyle{ a'b'c'}\) o wierzchołkach \(\displaystyle{ a'=0}\), \(\displaystyle{ b'=-t^2}\), \(\displaystyle{ c'=2i t^2}\). Tangens kąta \(\displaystyle{ \angle a'c'b'}\) jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), więc kąty nie zawsze są zachowywane.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Przekształcenie konforemne
Argument niedobry - obrazem takiego trójkąta nie jest nawet trójkąt. Poza tym rozważanie zmiany kątów w punkcie \(\displaystyle{ (1+i)t}\) nie daje szans na obalenie konforemności, bo w tym punkcie pochodna jest niezerowa.
Natomiast polecenie jest dosyć dziwne, bo funkcja \(\displaystyle{ f}\) w ogóle nie przekształca obszaru \( D(0, 1) \setminus \big( -1, -\frac{1}{2} \big] \) w \( D(0, 1) \setminus \big[ \frac{1}{4}, 1 \big) \) - wystarczy obliczyć \( f \big( \frac{1}{2} \big) \), by się o tym przekonać.
Natomiast polecenie jest dosyć dziwne, bo funkcja \(\displaystyle{ f}\) w ogóle nie przekształca obszaru \( D(0, 1) \setminus \big( -1, -\frac{1}{2} \big] \) w \( D(0, 1) \setminus \big[ \frac{1}{4}, 1 \big) \) - wystarczy obliczyć \( f \big( \frac{1}{2} \big) \), by się o tym przekonać.
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Re: Przekształcenie konforemne
Przepraszam, miałem na myśli \(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} (trojkat)}\). Wszystko dzieje się w punkcie zero. Nie wspomniałem wcześniej bo \(\displaystyle{ t}\) się w tangensie skróciło. Podobno \(\displaystyle{ z^2}\) jest generalnie konforemne wyrzycając zero. A zero w zbiorze jest.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Przekształcenie konforemne
W takim razie rozumowanie wymaga gruntownej poprawy, bo póki co kąt jest liczony w punkcie \(\displaystyle{ (1+i)t}\), który - mimo że dąży do zera - zerem nie jest.