oblicz

[iwetta]

\(\displaystyle{ Im\frac{(1-i)^{10}}{(\sqrt{3}+i)^6}}\)

Najpierw policzyć potęgi czy wymnożyć przez\(\displaystyle{ (\sqrt{3}-i)^{6}}\) a może wyciągnąć 6 potęgę przed nawias, zostawiając w środku 4 potęgę przy liczniku?

________________
\(\displaystyle{ 3i+2(4-i)^{3}}\)

Co oznacza ta kreska?

[scyth]

proponuję pomnożyć licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, czyli przez \(\displaystyle{ \sqrt{3}-i}\), wynmożyc i skracać (powinno wyjść 0,5i)

kreska oznacza sprzężenie

[iwetta]

i nie podniesione do 6 potęgi? czy podniesione?

[scyth]

podniesiesz sobie liczbę rzeczywistą do piątej potęgi, bo \(\displaystyle{ (\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)=4}\)

[iwetta]

to w liczniku wychodzi mi coś takiego \(\displaystyle{ (1-i)^{10}*(\sqrt{3}-i)=(\sqrt{3}-1-2i\sqrt{3})*(1-i)^9}\)

wykorzystać tu wzór na potęgowanie? czy da się to jakoś inaczej?

[scyth]

w liczniku wykorzystaj wzór na potęgowanie dla \(\displaystyle{ (1-i)^10}\), a następnie wymnóż - będzie łatwiej.

[iwetta]

wybacz ale nie znam tego wzoru. możesz go napisać? oraz kiedy się go stosuje ( tak chyba zjadło ci =.)

[scyth]

sorry, głupoty popisałem, pomyliłem się....
masz rację z tym mnożeniem mianownika. No więc po kolei:
\(\displaystyle{ (\sqrt{3}+i)^6\cdot(\sqrt{3}-i)^6=((\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i))^6=4^6=2^{12}}\)
Teraz może będzie lepiej korzystając z postaci wykładniczej:
\(\displaystyle{ 1-i=\sqrt{2}e^{\frac{7\pi}{4}i} \\
(1-i)^{10}=(\sqrt{2}e^{\frac{7\pi}{4}i})^{10}=
2^5e^{\frac{35\pi}{2}i}=-2^5i}\)
No i ostatni:
\(\displaystyle{ \sqrt{3}-i=2e^{\frac{11\pi}{6}i} \\
(\sqrt{3}-i)^6=(2e^{\frac{11\pi}{6}i})^6=2^6e^{11\pi i}=-2^6}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ \frac{(1-i)^{10}}{(\sqrt{3}+i)^6}=
\frac{(1-i)^{10}(\sqrt{3}-i)^6}{(\sqrt{3}+i)^6(\sqrt{3}-i)^6}=
\frac{(-2^5i)(-2^6)}{2^{12}}=\frac{2^{11}i}{2^{12}}=\frac{i}{2}}\)

[iwetta]

tylko skąd się wzieło \(\displaystyle{ \frac{7 \Pi} {4}}\)

[scyth]

\(\displaystyle{ z=a+ib=|z|\left(\frac{a}{|z|}+i\frac{b}{|z|}\right) \\
z=|z|(\cos\phi + i \sin\phi) \ , z=|z|e^{i\phi} \\
\\
\begin{cases}
\cos\phi=\frac{a}{|z|} \\
\sin\phi=\frac{b}{|z|}
\end{cases}}\)

[iwetta]

nadal nie widze skąd ta 7

[scyth]

Dla jakiego kąta zachodzi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\cos\phi=\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\sin\phi=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}}\)
Jest to kąt \(\displaystyle{ \phi=-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}}\) (wybieram \(\displaystyle{ \phi}\) z przedziału \(\displaystyle{ [0,2pi)}\) ).

[iwetta]

ok ostanie jak doszedłeś do \(\displaystyle{ -2^{6}}\) chodzi mi o to jedno przekształcenie

[scyth]

który moment?

[iwetta]

jak pozbywasz się i jest wynik to końcowe przekształcenie.