Znależć cz rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej

[aphrael]

znaleźć część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ \frac{(1-i)^{4}-1}{(1+i)^{4}+1}}\)
i drugie zadanie:
znaleźć wszystkie liczby zespolone spełniające równanie:
\(\displaystyle{ x^{2}=-8-6i}\)

[kuch2r]

Co do pierwszego, to wymnoz licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ (1+i)^4-1}\)

Przyklad:
Niech:
\(\displaystyle{ x=a+bi}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ x^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x^2=-8-6i\iff a^2-b^2+2abi=-8-6i}\)
Otrzymujemy, nastepujacy uklad rownan:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2-b^2=-8\\2ab=-6\end{cases}}\)
Pozstaje do rozwiazania powyzszy uklad rownan..

[aphrael]

wielkie dzięki za drugie zadanie, ale pierwszego nadal nie bardzo rozumiem...
Mógłbyś to trochę bardziej rozpisać?

[Lorek]

Hmm ja w pierwszym bym jednak policzył \(\displaystyle{ (1\pm i)^4}\) bo liczy się łatwo, jak się zrobi tak: \(\displaystyle{ (1\pm i)^4=[(1\pm i)^2]^2}\)

[Jopekk]

\(\displaystyle{ (1+i)^{4}=(\sqrt{2}cis\frac{\pi}{4})^4=4cis\pi=-4}\)
Analogicznie
\(\displaystyle{ (1-i)^{4}=4cis-\pi=-4}\)

Podstawiając do z uzyskujemy \(\displaystyle{ z=\frac{-5}{-3}=\frac{5}{3}}\)