Hej,
mam polecenie : Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór \(\displaystyle{ Re(z ^{2}) \le 2}\) .
Wolfram pokazuje coś związanego z parabolą \(\displaystyle{ x ^{2}}\), ale znalazłem też kilka podobnych rozwiązań korzystających z postaci trygonometrycznej, w których wykres jest zupełnie inny.
Z góry dzięki za pomoc
Zaznacz zbiór na płaszczyźnie zespolonej.
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Re: Zaznacz zbiór na płaszczyźnie zespolonej.
Jeżeli \(\displaystyle{ z = a + bi}\), to \(\displaystyle{ z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2 -b^2) +2abi}\). Czyli \(\displaystyle{ \operatorname{Re}(z^2) = a^2 - b^2 \leqslant 2}\). Można to zastąpić równoważnie \(\displaystyle{ b^2\geqslant a^2 - 2}\) i przystąpić jak do szkicowania nierówności funkcji jednej zmiennej.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Zaznacz zbiór na płaszczyźnie zespolonej.
Gdyby chodziło o nierówność \(\displaystyle{ \Im(z^2) \le 2}\), to przy podstawieniu \(\displaystyle{ z = x + iy}\):
\(\displaystyle{ \Im(z^2) \le 2 \iff 2xy \le 2 \iff xy \le 1,}\)
więc rozwiązaniem byłby obszar \(\displaystyle{ D \subseteq \CC}\) złożony z punktów leżących między dwiema gałęziami hiperboli \(\displaystyle{ xy = 1}\).
Ale skoro chodzi o nierówność \(\displaystyle{ \Re(z^2) \le 2}\), to oznaczmy \(\displaystyle{ \varepsilon = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}}\) i zauważmy, że
\(\displaystyle{ \Re(z^2) \le 2 \iff \Im( i \cdot z^2 ) \le 2 \iff \Im (\varepsilon z)^2 \le 2 \iff \varepsilon z \in D}\).
Zatem szukanym zbiorem jest
\(\displaystyle{ E = \{ z \in \CC : \varepsilon z \in D \}}\),
czyli obszar otrzymany z \(\displaystyle{ D}\) przez obrót o \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) wokół początku układu współrzędnych.
\(\displaystyle{ \Im(z^2) \le 2 \iff 2xy \le 2 \iff xy \le 1,}\)
więc rozwiązaniem byłby obszar \(\displaystyle{ D \subseteq \CC}\) złożony z punktów leżących między dwiema gałęziami hiperboli \(\displaystyle{ xy = 1}\).
Ale skoro chodzi o nierówność \(\displaystyle{ \Re(z^2) \le 2}\), to oznaczmy \(\displaystyle{ \varepsilon = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}}\) i zauważmy, że
\(\displaystyle{ \Re(z^2) \le 2 \iff \Im( i \cdot z^2 ) \le 2 \iff \Im (\varepsilon z)^2 \le 2 \iff \varepsilon z \in D}\).
Zatem szukanym zbiorem jest
\(\displaystyle{ E = \{ z \in \CC : \varepsilon z \in D \}}\),
czyli obszar otrzymany z \(\displaystyle{ D}\) przez obrót o \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) wokół początku układu współrzędnych.