Wykazać równość

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Aspik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 5 lip 2018, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

Wykazać równość

Post autor: Aspik » 28 mar 2020, o 20:12

Wykazać następującą równość:
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \sin \overline{z}=\overline{\sin z}} }\)
Skorzystałem ze wzoru na sinus różnicy kątów: \(\displaystyle{ \displaystyle{ \displaystyle{ \sin(a-b) = \sin(a)*\cos(b)-\sin(b)*\cos(a)}}}\)

Udało mi się dojść do takiego momentu:

\(\displaystyle{ \displaystyle{ \sin \overline{z}} }\) = \(\displaystyle{ \displaystyle{ \sin(x-iy)=\cosh y\cdot \sin x-i \sinh y\cdot \cos x}}\)

Proszę o jakąś wskazówkę, co należy dalej zrobić.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14872
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 121 razy
Pomógł: 4926 razy

Re: Wykazać równość

Post autor: Premislav » 28 mar 2020, o 20:19

No proste, dalej
\(\displaystyle{ \sin z=\sin(x+iy)=\sin x\cos iy+\sin iy \cos x}\),
potem korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ \cos iy=\frac{e^{i\cdot iy}+e^{-i\cdot iy}}{2}=\cosh y, \ \sin iy=\frac{e^{i\cdot iy}-e^{-i\cdot iy}}{2i}=i\sinh y}\), więc
\(\displaystyle{ \overline{\sin z}=\ldots }\)

Dodano po 1 minucie 24 sekundach:
NB można by się zastanawiać, czy najpierw nie należy uzasadnić, że wzór na sinus sumy działa też dla argumentów zespolonych niekoniecznie rzeczywistych.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18142
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3062 razy

Re: Wykazać równość

Post autor: a4karo » 28 mar 2020, o 20:24

A może skorzystasz z szeregu?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Wykazać równość

Post autor: janusz47 » 29 mar 2020, o 13:27

\(\displaystyle{ \overline{\sin(z)} = \sin(x)\cosh(y) - i\cos(x)\sinh(y) = \sin(x) \cosh(-y) + i \cos(x)\sinh(-y) = \sin(x- iy) = \sin(\overline{z}).}\)

ODPOWIEDZ