Czy dana liczba jest pierwiastkiem z jedynki?
: 23 mar 2020, o 22:55
Cześć od dłuższego czasu męczy mnie takie zadanie: czy liczba \(\displaystyle{ \frac{2+i}{2-i}}\) jest pierwstkiem z jedynki.
No i jasne, mogę usunąć tę niewymierność i zrobić z tego \(\displaystyle{ \frac35 + \frac45i}\) , potem w postać trygonometryczną \(\displaystyle{ 1\cdot(\cos \alpha +i\cdot\sin \alpha )}\) no i skoro ma być to pierwiastek z jedynki to musze to podnieść do jakiejś \(\displaystyle{ n}\) -tej naturalnej potęgi. czyli można powiedzieć że jest sobie jakiś kąt \(\displaystyle{ \alpha }\) w pierwszej ćwiartce którego \(\displaystyle{ \cos}\) to \(\displaystyle{ \frac35}\) .
I teraz chcę żeby \(\displaystyle{ (\alpha \cdot n)\bmod 360 = 0 }\) i będzie tak na pewno wtedy kiedy \(\displaystyle{ \alpha}\) należy do liczb wymiernych, bo dla każdej liczby wymiernej \(\displaystyle{ \alpha = \frac{p}{q} }\), gdzie \(\displaystyle{ p }\) i \(\displaystyle{ q }\) należą do liczb naturalnych, mogę zrobić \(\displaystyle{ n = q\cdot 360}\) ; I nie będzie tak na pewno wtedy kiedy \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie liczbą niewymierną bo liczba niewymierna pomnożona przez wymierną zawsze bedzie niewymierna, więc zadanie to tak naprawde rozbija się o pytanie czy \(\displaystyle{ \alpha }\) dla \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac35 }\) jest wymierne. W necie jest coś takiego jak twierdzenie Nivena i mogę sobie tutaj przepisać jego dowód i powiedzieć że na jego mocy nie i ta liczba nie jest pierwiastkiem z jedynki, ale chciałbym jakieś bardziej intuicyjne rozwiązanie, i tutaj proszę forumowiczów o pomoc.
Jak to pokazać?
No i jasne, mogę usunąć tę niewymierność i zrobić z tego \(\displaystyle{ \frac35 + \frac45i}\) , potem w postać trygonometryczną \(\displaystyle{ 1\cdot(\cos \alpha +i\cdot\sin \alpha )}\) no i skoro ma być to pierwiastek z jedynki to musze to podnieść do jakiejś \(\displaystyle{ n}\) -tej naturalnej potęgi. czyli można powiedzieć że jest sobie jakiś kąt \(\displaystyle{ \alpha }\) w pierwszej ćwiartce którego \(\displaystyle{ \cos}\) to \(\displaystyle{ \frac35}\) .
I teraz chcę żeby \(\displaystyle{ (\alpha \cdot n)\bmod 360 = 0 }\) i będzie tak na pewno wtedy kiedy \(\displaystyle{ \alpha}\) należy do liczb wymiernych, bo dla każdej liczby wymiernej \(\displaystyle{ \alpha = \frac{p}{q} }\), gdzie \(\displaystyle{ p }\) i \(\displaystyle{ q }\) należą do liczb naturalnych, mogę zrobić \(\displaystyle{ n = q\cdot 360}\) ; I nie będzie tak na pewno wtedy kiedy \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie liczbą niewymierną bo liczba niewymierna pomnożona przez wymierną zawsze bedzie niewymierna, więc zadanie to tak naprawde rozbija się o pytanie czy \(\displaystyle{ \alpha }\) dla \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac35 }\) jest wymierne. W necie jest coś takiego jak twierdzenie Nivena i mogę sobie tutaj przepisać jego dowód i powiedzieć że na jego mocy nie i ta liczba nie jest pierwiastkiem z jedynki, ale chciałbym jakieś bardziej intuicyjne rozwiązanie, i tutaj proszę forumowiczów o pomoc.
Jak to pokazać?