Dlaczego i^2 = -1

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Perunn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 paź 2019, o 05:13
Płeć: Mężczyzna
wiek: 30

Dlaczego i^2 = -1

Post autor: Perunn » 13 mar 2020, o 13:11

Nurtuje mnie jedno pytanie na które nie mogę wygooglować odpowiedzi.

Dlaczego \(\displaystyle{ i}\) podniesione do kwadratu wynosi \(\displaystyle{ -1}\) a nie np \(\displaystyle{ -2}\), lub \(\displaystyle{ 5}\), albo inna dowolna liczba.
Wynika to skądś, czy tak sobie po prostu założono i się okazuje, że to działa?
Ostatnio zmieniony 13 mar 2020, o 18:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 551
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 104 razy

Re: Dlaczego i^2 = -1

Post autor: MrCommando » 13 mar 2020, o 13:27

Moim zdaniem tak jest po prostu łatwiej - skoro jedynka jest elementem neutralnym mnożenia, to wiele operacji powiązanych z liczbą \(\displaystyle{ i}\) będzie po prostu prostszych do wykonania, jeśli \(\displaystyle{ i^2=-1}\), a nie np. \(\displaystyle{ i^2=-5}\).

Powiedzmy na przykład, że chcesz rozwiązać równanie \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\), gdzie \(\displaystyle{ a\neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac<0}\). Wtedy możemy po prostu wyznaczyć pierwiastki \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) w taki oto sposób: \(\displaystyle{ x_1=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}}\) oraz \(\displaystyle{ x_2=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}}\).

Gdybyśmy założyli, że \(\displaystyle{ i^2=-5}\), to nie zapisalibyśmy rozwiązań danego równania w takiej przejrzystej i ładnej formie jak wyżej, która przy okazji kojarzy się z postacią rozwiązań równań kwadratowych w przypadku, gdy \(\displaystyle{ \Delta\geq 0}\). Wówczas rozwiązania wyglądałyby dosyć dziwnie \(\displaystyle{ x_1=\frac{-b+i\sqrt{-\frac{1}{5}\Delta}}{2a}}\), \(\displaystyle{ x_2=\frac{b-i\sqrt{-\frac{1}{5}\Delta}}{2a}}\). Raczej ta stała pod pierwiastkiem jest całkowicie zbyteczna. No i to tylko jeden przykład, gdzie widać że tak jest prościej. Można by znacznie więcej ich wymyślić. Tak że skłaniałbym się ku temu, że tak jest po prostu łatwiej i nie ma potrzeby na siłę komplikować sobie życia.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18142
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3061 razy

Re: Dlaczego i^2 = -1

Post autor: a4karo » 13 mar 2020, o 20:35

Jaką znasz definicję liczb zespolonych?

Dodano po 19 godzinach 34 minutach 3 sekundach:
Bo skonstruowano pewną strukturę algebraiczną, która jest rozszerzeniem liczb rzeczywistych i w której znalazł się obiekt, który podniesiony do kwadratu dał minus jeden. Uznano, że ten obiekt jest ważny i nadano mu imię: `i`.

ODPOWIEDZ