Zadanie z podzbiorami zbioru liczb zespolonych

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
kiziorx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 16 gru 2019, o 16:46
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 3 razy

Zadanie z podzbiorami zbioru liczb zespolonych

Post autor: kiziorx » 20 lut 2020, o 21:45

Cześć, proszę o wytłumaczenie co to jest \(\displaystyle{ z'}\), czy to jest inne oznaczenie na sprzężenie liczby całkowitej czy może coś innego oraz o pomoc z takim zadaniem:

Zdefiniujmy podzbiory zbioru liczb zespolonych \(\displaystyle{ \CC}\):

\(\displaystyle{ A_0 = \left\{ z \in \CC : \sqrt{2} \le \left| z\right| \le 2, \frac{ \pi }{4} \le arg(z) \le \frac{ \pi }{2} \right\} }\),
\(\displaystyle{ A_i = \left\{ zz' : z, z' \in A_{i-1}\right\} }\) dla \(\displaystyle{ i \ge 1 }\)
\(\displaystyle{ B = A_0 \cup A_1 \cup A_2 \cup ...}\)

a) Naszkicować zbiory \(\displaystyle{ A_0, A_1, A_2}\).
b) Znaleźć wszystkie pierwiastki stopnia 12 z \(\displaystyle{ 2^{12}}\) należące do \(\displaystyle{ A_0}\).
c) Znaleźć najmniejszą liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ r }\) taką, że \(\displaystyle{ \CC = B \cup \left\{ z \in \CC :\left| z\right| \le r \right\} }\).
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2780
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 904 razy

Re: Zadanie z podzbiorami zbioru liczb zespolonych

Post autor: Janusz Tracz » 20 lut 2020, o 22:42

Kolejne zbiory \(\displaystyle{ A_i}\) to coraz większe ze względu na modów jak i kąt wycinki pierścienia.

\(\displaystyle{ A_0}\) to \(\displaystyle{ 1/8}\) pierścienia \(\displaystyle{ \sqrt{2} \le \left| z\right| \le 2 }\) wycięta ze względu na kąt od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }\).

\(\displaystyle{ A_1}\) to \(\displaystyle{ 1/4}\) pierścienia \(\displaystyle{ \sqrt{2}^2 \le \left| z\right| \le 2^2 }\) ze względu na kąt od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} \cdot 2}\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} \cdot 2 }\).

\(\displaystyle{ A_2}\) to \(\displaystyle{ 1/2}\) pierścienia \(\displaystyle{ \left( \sqrt{2}^2\right)^2 \le \left| z\right| \le \left( 2^2\right)^2 }\) ze względu na kąt od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} \cdot 2 \cdot 2 }\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} \cdot 2 \cdot 2}\)

\(\displaystyle{ A_3}\) to już cały pierścień \(\displaystyle{ \left( \left( \sqrt{2}^2\right)^2\right)^2 \le \left| z\right| \le \left( \left( 2^2\right)^2 \right)^2 }\)

Dla \(\displaystyle{ k \ge 3}\)

\(\displaystyle{ A_k= \left\{ z\in\CC: 2^{2(k-1)} \le \left| z\right| \le 2^{2k} \right\} }\)

Widać więc, że \(\displaystyle{ r=2^{2 \cdot 2}=16}\), potem do sumy w \(\displaystyle{ B}\) wpadają pełne pierścienie.

Jeśli chodzi o pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt[12]{2^{12}} }\) to jest ich \(\displaystyle{ 12}\) i są postaci to liczby \(\displaystyle{ \left\{ 2,2e^{i \frac{ \pi }{12}} , 2e^{i \frac{ 2\pi }{12}} , 2e^{i \frac{3 \pi }{12}} ,... \right\} }\). Trzeba się więc zastanowić ile ich wpada ze względu na kąt do przedziału kątowego \(\displaystyle{ A_0}\).
Cześć, proszę o wytłumaczenie co to jest \(\displaystyle{ z'}\)
Jak dla mnie jaką liczbą zespoloną, niezwiązaną z \(\displaystyle{ z}\).

kiziorx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 16 gru 2019, o 16:46
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 3 razy

Re: Zadanie z podzbiorami zbioru liczb zespolonych

Post autor: kiziorx » 21 lut 2020, o 11:49

Janusz Tracz pisze:
20 lut 2020, o 22:42
dla \(\displaystyle{ k \ge 3}\)

\(\displaystyle{ A_k= \left\{ z\in\CC: 2^{2(k-1)} \le \left| z\right| \le 2^{2k} \right\} }\)

Widać więc, że \(\displaystyle{ r=2^{2 \cdot 2}=16}\), potem do sumy w \(\displaystyle{ B}\) wpadają pełne pierścienie.

Skąd wiesz, że tak właśnie wygląda wzór na \(\displaystyle{ A_k}\)?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2780
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 904 razy

Re: Zadanie z podzbiorami zbioru liczb zespolonych

Post autor: Janusz Tracz » 21 lut 2020, o 12:59

Poczekaj pomyliłem się, powinno być \(\displaystyle{ A_k= \left\{ z\in\CC: 2^{2^{k-1}} \le \left| z\right| \le 2^{2^{k}} \right\}}\) dla \(\displaystyle{ k \ge 3}\). To jest pewna obserwacja hipoteza sprawdź czy tak jest czy nie, ja też jeszcze to przemyśle. Narysowałem \(\displaystyle{ A_0}\) potem \(\displaystyle{ A_1}\) i jeszcze \(\displaystyle{ A_3}\) i zaczęło się to układać w pewien schemat. Dostajemy coraz większe części pierścieni, przy czym trzeci jest już "cały". Nie będę się upierał, że nie jest to formalne rozumowanie ale trudno cokolwiek formalizować gdy nie widać heurystycznych idei. Formalny dowód dla \(\displaystyle{ k \ge 3}\) można by pewnie przeprowadzić indukcyjnie ale sednem takiej indukcji i tak będzie stwierdzenie:
skic:    

ODPOWIEDZ