Matematyka.pl

Dzień dobry,
trafiłam na coś takiego:
Na przykładzie liczb zespolonych \(\displaystyle{ \CC}\) zilustruj jakich własności wymagamy by nazwać strukturę algebraiczną ciałem.

I mam tylko pytanie jak wpleść fragment " na przykładzie liczb zespolonych"?

Bo bez tego chyba wymieniłabym dziewięć aksjomatów ciała i tyle.

Po prostu przedstaw te aksjomaty na liczbach zespolonych.

Np zaczynając że \(\displaystyle{ (\mathbb{C},+)}\) jest grupą abelową
Działanie (zwane dalej dodawaniem):
\(\displaystyle{ +\colon \mathbb{C}\times \mathbb{C}\to \mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ (x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)}\)
1.Jest łączne
\(\displaystyle{ (x_1,x_2)+\left((y_1,y_2)+(z_1,z_2)\right)=(x_1,x_2)+(y_1+z_1,y_2+z_2)=(x_1+y_1+z_1,x_2+y_2+z_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)+(z_1,z_2)=\left((x_1,x_2)+(y_1,y_2)\right)+(z_1,z_2)}\)
2. Przemienne:
\(\displaystyle{ (x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)=(y_1+x_1,y_2+x_2)=(y_1,y_2)+(x_1,x_2)}\)

3. Istnieje el neutralny (zero)
\(\displaystyle{ (x_1,x_2)+(0,0)=(0,0)+(x_1,x_2)=(x_1,x_2)}\)

4. Dla każdego elementu \(\displaystyle{ (x_1,x_2)}\) isnieje element odwrotny (przeciwny) \(\displaystyle{ (-x_1,-x_2)}\)

\(\displaystyle{ (x_1,x_2)+(-x_1,-x_2)=(x_1-x_1,x_2-x_2)=(0,0)}\)

Pozostaje w ten sam sposób pokazać że \(\displaystyle{ (\mathbb{C},\cdot)}\) jest monoidem przemiennym
\(\displaystyle{ \cdot \colon \mathbb{C}\times \mathbb{C}\to \mathbb{C}}\)
A więc że działanie (zwane dalej mnożeniem):
\(\displaystyle{ (x_1,x_2)\cdot(y_1,y_2)=(x_1y_1-x_2y_2,x_1y_2+x_2y_1)}\)
Jest
5. łączne
6. przemienne
7. Występuje element neutralny \(\displaystyle{ (1,0)}\) - jedynka

Oprócz tego że
8.Zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania
9.Każdy element poza zerem jest odwracalny w działaniu mnożenia.

Tu oczywiście liczbę \(\displaystyle{ (x_1,x_2)}\) rozumiemy jako \(\displaystyle{ z=x_1+ix_2}\)

Czyli nic specjalnego w sumie, dziękuję bardzo