Matematyka.pl

Pierwiastek kwadratowy z \(\displaystyle{ 1-i}\)
Jak wygląda przebieg tego rozwiązania?

Można zauważyć, że \(\displaystyle{ 1-i= \sqrt{2}e^{- \frac{\pi}{4}i } }\) i spierwiastkować \(\displaystyle{ \pm \sqrt{\sqrt{2}e^{- \frac{\pi}{4}i }} = \pm \sqrt[4]{2}e^{- \frac{\pi}{8}i } }\)

A można założyć, że pierwastek jest liczbą zespoloną \(\displaystyle{ z = x + yi }\) i po prostu podstawić:

\(\displaystyle{ \left(x + yi \right)^2 = 1 - i}\)

a następnie przyrównać rzeczywistą do rzeczywistej, urojoną do urojonej i wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) (będą dwa rozwiązania, czyli dwie pary \(\displaystyle{ (x,y)}\) ).

Można wreszcie skorzystać ze wzorów de Moivre'a - akurat w tym przypadku wychodzi argument stosunkowo "ładny".

Pierwszy (z opisanych przeze mnie) sposobów nadaje się w szczególności w sytuacjach, gdy argument jest "brzydki" - jak to często bywa przy rozwiązywaniu trójmianów kwadratowych ze współczynnikami zespolonymi.