Strona 1 z 1
Równanie - znaleźć liczby zespolone
: 2 lut 2020, o 13:26
autor: p13
Cześć, macie jakiś pomysł na to zadanie?
Znaleźć wszystkie liczby zespolone (czyli ich części rzeczywiste i urojone) u spełniające równanie:
\(\displaystyle{ u ^{2}+4u = 4iu +6 }\)
Re: Równanie - znaleźć liczby zespolone
: 2 lut 2020, o 18:31
autor: Jan Kraszewski
Przecież to zwykłe równanie kwadratowe.
JK
Re: Równanie - znaleźć liczby zespolone
: 3 lut 2020, o 19:16
autor: Kristoffer
Tak jak wyżej. Zwykłe równanie kwadratowe.
\(\displaystyle{ u^2+u(4-4i)-6=0 \\
\frac{-B}{2} = 2i-2 \\
(2i-2+z)(2i-2-z) = -6 \\
(2i-2)^{2}-z^{2}=-6 \\
z^{2} = -8i+6 \\
z = \pm \sqrt{-8i+6} \\\\
u_1 = (2i-2) + \sqrt{-8i+6} \\
u_2 = (2i-2) - \sqrt{-8i+6} \\}\)
Re: Równanie - znaleźć liczby zespolone
: 3 lut 2020, o 21:41
autor: a4karo
To oczywiście nie koniec, bo pierwiastek trzeba przedstawić w postaci `a+bi`
Re: Równanie - znaleźć liczby zespolone
: 4 lut 2020, o 11:41
autor: Kristoffer
\(\displaystyle{
u_1 = (2i-2) + \sqrt{-8i+6} \\
u_2 = (2i-2) - \sqrt{-8i+6} \\ \\
6-8i = x^2 = (a+ib)^{2} \\
(a+ib)^{2} = a^{2}+2iab-b^{2} = (a^{2}-b^{2})+(2ab)i \\
\begin{cases}
6 = a^{2}-b^{2} \\
-8i = 2abi \Rightarrow ab = -4 \Rightarrow a = \frac{-4}{b}
\end{cases}
\\
6 = \frac{16}{b^{2}}-b^{2} = \frac{16-b^{4}}{b^2} \\
b^{4}+6b^{2}-16 = 0 \\
(b^{2}+8)(b^{2}-2) = 0 \\
b = \pm 2\sqrt{2}i \text{ odpada, bo musi to być liczba rzeczywista}\\
b = \pm \sqrt{2} \\\\
b_1 = \sqrt{2} \Rightarrow a_1 = \frac{-4}{\sqrt{2}}=-2\sqrt{2} \text{ odpada, bo liczba przy i musi być < 0}\\
b_2 = -\sqrt{2} \Rightarrow a_2 = \frac{-4}{-\sqrt{2}}=2\sqrt{2} \\
\\
u_1 = (2i-2) + \sqrt{-8i+6} = 2i-2+(a+ib) = 2i-2 + 2\sqrt{2}-\sqrt{2}i = (2\sqrt{2}-2)+i(2-\sqrt{2}) \\
u_2 = (2i-2) - \sqrt{-8i+6} = 2i-2-(a+ib) = 2i-2 - 2\sqrt{2}+\sqrt{2}i = (-2\sqrt{2}-2)+i(2+\sqrt{2})}\)