Równanie - znaleźć liczby zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
p13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 10 lis 2019, o 20:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 18 razy

Równanie - znaleźć liczby zespolone

Post autor: p13 » 2 lut 2020, o 13:26

Cześć, macie jakiś pomysł na to zadanie?
Znaleźć wszystkie liczby zespolone (czyli ich części rzeczywiste i urojone) u spełniające równanie:
\(\displaystyle{ u ^{2}+4u = 4iu +6 }\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26423
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4422 razy

Re: Równanie - znaleźć liczby zespolone

Post autor: Jan Kraszewski » 2 lut 2020, o 18:31

Przecież to zwykłe równanie kwadratowe.

JK

Kristoffer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 3 lut 2020, o 18:41
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 15 razy

Re: Równanie - znaleźć liczby zespolone

Post autor: Kristoffer » 3 lut 2020, o 19:16

Tak jak wyżej. Zwykłe równanie kwadratowe.
\(\displaystyle{ u^2+u(4-4i)-6=0 \\
\frac{-B}{2} = 2i-2 \\
(2i-2+z)(2i-2-z) = -6 \\
(2i-2)^{2}-z^{2}=-6 \\
z^{2} = -8i+6 \\
z = \pm \sqrt{-8i+6} \\\\

u_1 = (2i-2) + \sqrt{-8i+6} \\
u_2 = (2i-2) - \sqrt{-8i+6} \\}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18142
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3062 razy

Re: Równanie - znaleźć liczby zespolone

Post autor: a4karo » 3 lut 2020, o 21:41

To oczywiście nie koniec, bo pierwiastek trzeba przedstawić w postaci `a+bi`

Kristoffer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 3 lut 2020, o 18:41
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 15 razy

Re: Równanie - znaleźć liczby zespolone

Post autor: Kristoffer » 4 lut 2020, o 11:41

\(\displaystyle{
u_1 = (2i-2) + \sqrt{-8i+6} \\
u_2 = (2i-2) - \sqrt{-8i+6} \\ \\

6-8i = x^2 = (a+ib)^{2} \\
(a+ib)^{2} = a^{2}+2iab-b^{2} = (a^{2}-b^{2})+(2ab)i \\
\begin{cases}
6 = a^{2}-b^{2} \\
-8i = 2abi \Rightarrow ab = -4 \Rightarrow a = \frac{-4}{b}
\end{cases}
\\
6 = \frac{16}{b^{2}}-b^{2} = \frac{16-b^{4}}{b^2} \\
b^{4}+6b^{2}-16 = 0 \\
(b^{2}+8)(b^{2}-2) = 0 \\
b = \pm 2\sqrt{2}i \text{ odpada, bo musi to być liczba rzeczywista}\\
b = \pm \sqrt{2} \\\\

b_1 = \sqrt{2} \Rightarrow a_1 = \frac{-4}{\sqrt{2}}=-2\sqrt{2} \text{ odpada, bo liczba przy i musi być < 0}\\
b_2 = -\sqrt{2} \Rightarrow a_2 = \frac{-4}{-\sqrt{2}}=2\sqrt{2} \\

\\
u_1 = (2i-2) + \sqrt{-8i+6} = 2i-2+(a+ib) = 2i-2 + 2\sqrt{2}-\sqrt{2}i = (2\sqrt{2}-2)+i(2-\sqrt{2}) \\
u_2 = (2i-2) - \sqrt{-8i+6} = 2i-2-(a+ib) = 2i-2 - 2\sqrt{2}+\sqrt{2}i = (-2\sqrt{2}-2)+i(2+\sqrt{2})}\)

ODPOWIEDZ