dowody ...

[Jestemfajny]

1.Udowodnij że każda liczba zespolona różna od -1 której moduł jest równy 1 da sie przedstawic w postaci:\(\displaystyle{ z=\frac{1+it}{1-it}}\) t należy do R.
2.Udowodnij stosując metode indukcji zupełnej:
\(\displaystyle{ e^{in\alpha}=\cos{n\alpha}+i\sin{n\alpha}}\)
3.udowodnic...
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}+cosz+cos2z...cosnz=\frac{sin(n+\frac{1}{2})z}{2sin\frac{z}{2}}}\)
z mojej strony:
W pierwszym porafie pokazac ze modul tak przedstawionej liczby daje jeden ale na odwrót niesety nie wychodzi..
Odnośnie drugiego znalazłem dowód tego twierdzenia ale na szeregach ale myśle że naszemu wykładowcy nie o to chodziło..a przy okazji co to znaczy indukcja zupełna czym różni się od zwykłej?.
w 3 wydaje mi sie że trzeba skorzystac z de'moivra i sumu ciągu geometrycznego ale nie potrafie tego doprowadzic do jakiejs zadowalającej postaci.. z góry dziękuje za pomoc, pozdrawiam.

[mol_ksiazkowy]

Jak idzie o ad 1 to po prostu brutalnie , tj wyliczyc t , \(\displaystyle{ t=\frac{i(1-z)}{z+1}}\), i ponownie wstawic! i jest ono istotnie rzeczywiste, tj im(t)=0

[przemk20]

1. zauwaz, ze
\(\displaystyle{ z = \frac{1+it}{1-it} = \frac{1-t^2}{1+t^2} + i\frac{ 2t}{1+t^2 } \\
tg \phi = t \frac{1-t^2}{1+t^2} = \cos \phi, \ \frac{2t}{1+t^2} = \sin \phi \\}\)
3
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \cos kz = Re \sum_{k=1}^n (\cos kz + i \sin kz) =
Re \sum_{k=1}^n (\cos z + i \sin z)^k}\)
no i dalej stosujesz wzor na sumę n początkowych wyrazów szeregu geometrycznego

[Piotr Rutkowski]

Ja bym jednak postawił na dowód właśnie na szeregach, bo rozwinięcia sinx, cosx oraz e w szereg są dość znane. Poza tym dowód jest o tyle przyjemny, ż nie wymaga dużo miejsca