Obliczyć sumę i iloczyn wszystkich zespolonych rozwiązań równania:

[barber29]

Witam tak jak w temacie, obliczyć sumę i iloczyn wszystkich zespolonych rozwiązań równania \(\displaystyle{ z^5=-32i.}\)

[kerajs]

Równanie:
\(\displaystyle{ z^5+i32=0}\)
można zapisać jako:
\(\displaystyle{ (z-z_1)(z-z_3)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)=0}\)
stąd:
\(\displaystyle{ z_1z_2z_3z_4z_5=-i32\\
z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=0}\)

[barber29]

Wolfram daje inny wynik.

[kerajs]

Najchętniej napisałbym: WOLFRAM KŁAMIE, lecz prawda jest bardziej prozaiczna. Tu zawiódł czynnik ludzki, czyli coś błędnie przepisałeś/ wpisałeś/odczytałeś/ zinterpretowałeś/ ... .

Skoro eleganckie porównanie wielomianów Cię nie przekonuje, to trzeba coś policzyć.
\(\displaystyle{ z^5=-32i \\
z=-2i \cdot \sqrt[5]{1}\\
z_0=-2i=2(\cos ( \frac{- \pi }{2} )+ i\sin ( \frac{- \pi }{2} ))=2e^{i ( \frac{- \pi }{2} )} \\
z_1=2(\cos ( \frac{- \pi }{2} + \frac{2 \pi }{5} )+ i\sin ( \frac{- \pi }{2} + \frac{2 \pi }{5} ))=2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{2 \pi }{5} )} \\
z_2=2(\cos ( \frac{- \pi }{2} + \frac{4 \pi }{5} )+ i\sin ( \frac{- \pi }{2} + \frac{4 \pi }{5} ))=2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{4 \pi }{5} )} \\
z_3=2(\cos ( \frac{- \pi }{2} + \frac{6 \pi }{5} )+ i\sin ( \frac{- \pi }{2} + \frac{6 \pi }{5} ))=2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{6 \pi }{5} )} \\
z_4=2(\cos ( \frac{- \pi }{2} + \frac{8 \pi }{5} )+ i\sin ( \frac{- \pi }{2} + \frac{8 \pi }{5} ))=2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{8 \pi }{5} )} }\)

Iloczyn :
\(\displaystyle{ z_0z_1z_2z_3z_4=2e^{i ( \frac{- \pi }{2} )} \cdot 2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{2 \pi }{5} )} \cdot 2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{4 \pi }{5} )} \cdot 2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{6 \pi }{5} )} \cdot 2e^{i ( \frac{- \pi }{2}+\frac{8 \pi }{5} )} =2^5e^{i ( 5 \cdot \frac{- \pi }{2}+\frac{(2+4+6+8) \pi }{5} )} =\\=32e^{i ( \frac{- \pi }{2}+ 2\pi )} =32e^{i ( \frac{- \pi }{2} )} =32(-i)=-i32}\)

Suma jest ciut dłuższa, więc powalcz z nią sam.
Użyteczne mogą (lecz nie muszą) być informacje:

Ukryta treść:    

1. Dla każdego naturalnego k zachodzi związek: \(\displaystyle{ 2 \sum_{i=1}^{k} \cos \frac{ i \cdot 2 \pi }{2k+1}=-1}\)
2. Współrzędne barycentrum układu wierzchołków pięciokąta foremnego (podobnie jak i całej figury) to średnie arytmetyczne po współrzędnych wierzchołków tego pięciokąta.
3. Dla \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{10}=36^\circ }\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{10-2 \sqrt{2} } }{4} \\
\cos \alpha = \frac{ \sqrt{5}+1 }{4} \\
\sin 2\alpha = \frac{ \sqrt{5}-1 }{4} \\
\cos 2\alpha = \frac{ \sqrt{10+-2 \sqrt{2} } }{4} }\)