Matematyka.pl

Witam

Chciałbym prosić was o pomoc w zadaniach z Liczb Zespolonych.Był bym bardzo wdzięczny jak by ktoś je rozwiązał


Zadanie 1
Oblicz:

A) \(\displaystyle{ ( - \sqrt{3} + i)^{12}}\)

B) \(\displaystyle{ ( - 1 - \sqrt{3}i)^{24}}\)



Zadanie 2
Korzystając z definicji oblicz podane pierwiastki:

A) \(\displaystyle{ {\sqrt[3]{i }}}\)


B) \(\displaystyle{ {\sqrt[4]{16}}}\)



Z góry THX za pomoc

1.A:
\(\displaystyle{ [2( - \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2})]^{12} =
2^{12} ( cos(\frac{5\pi}{6}) + isin(\frac{5\pi}{6}))^{12}=
2^{12} ( cos(12\cdot\frac{5\pi}{6}) + isin(12\cdot\frac{5\pi}{6}))=
2^{12} ( cos(10\pi) + isin(10\pi))=...}\)

B. praktycznie tak samo

2.B:
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{16}\\
16=(cos0+isin0)\\
w_k=\sqrt[4]{16}(cos\frac{0+2k\pi}{4}+isin\frac{0+2k\pi}{4})=
2(cos\frac{k\pi}{2}+isin\frac{k\pi}{2})\\
w_0=2(cos0+isin0)=2\\
w_1=2(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})=2(0+i)=2i\\
w_2=2(cos\pi+isin\pi)=2(-1+0)=-2\\
w_3=2(cos\frac{3\pi}{2}+isin\frac{3\pi}{2})=2(0-i)=-2i}\)

W A. zapisz sobie tak:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}\\
i=1(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})\\
w_k=1(cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3}+isin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3})\\
...}\)


POZDRO

jeśli możesz to rozpisz jak doszedłeś do tego \(\displaystyle{ w_{k}}\) w tym przykładzie: \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\) Stosujesz tu wzór na potęgowanie?

Bierzesz to, co ci wyszło przy i, czyli �Π + 2kΠ ze wzoru ogólnego, dzielisz przez 3 (takiego stopnia jest pierwiastek z i).