A w przykładzie z książki: \(\displaystyle{ z^{6}=(2+4i)^{6}}\) został wykorzystany wcześniej wspomniany już wzór. Dlatego zastanawia mnie czemu w przypadku równania \(\displaystyle{ z^3=y^3}\) nie mogę go zastosować.
To jest w tym wątku kwestia najistotniejsza. Wzór zastosować możesz wtedy gdy prawa strona równania jest
stała. Tak jak pisałem już wcześniej wzór można stosować do równań postaci
\(\displaystyle{ z^n=a}\) gdzie
\(\displaystyle{ a\in\CC}\) oraz liczba
\(\displaystyle{ a}\) nie zależy od
\(\displaystyle{ z}\). Dlatego do przykładu
\(\displaystyle{ z^{6}=(2+4i)^{6}}\) można zastosować ów wzór. A do
\(\displaystyle{ z^{3} = (iz+1)^{3} }\) nie można bo każda ze stron zależy od
\(\displaystyle{ z}\) (no chyba, że zrobimy sztuczkę z dzieleniem i podstawieniem
\(\displaystyle{ w}\)).
Dlatego zastanawia mnie czemu w przypadku równania \(\displaystyle{ z^3=y^3}\) nie mogę go zastosować.
Teraz sam powinieneś umieć odpowiedzieć sobie na to pytanie. Jeśli
\(\displaystyle{ y}\) jest stałą liczbą niezależną od
\(\displaystyle{ z}\) to możesz zastosować wzór a jeśli
\(\displaystyle{ y=y(z)}\) to nie możesz (no chyba, że zrobisz sztuczkę i napiszesz
\(\displaystyle{ \left( \frac{z}{y} \right)^3=1 }\) wtedy po prawej jest stała liczba).
Wracając do zadania: \(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=((1+i)z−i)(z^{2}+(2−i)z−i)}\)
Tak jak Pan pisał wyliczyłem z drugiego nawiasu brakujące dwa pierwiastki tylko nie mam pojęcia jak do takiej postaci doprowadzić bez użycia "wolframa" dlatego ten sposób odpada dla mnie
Pisałem o wykorzystaniu wzorów skróconego mnożenia (nawet konkretnych), wydało mi się to wystarczającą wskazówką. A potem i tak zaproponowałem, żeby pozostać przy Twojej wersji
\(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=(z-(iz+1))(z^{2} +z(iz+1) + (iz+1)^{2})}\) co do której nie masz wątpliwości. Uporządkuj wyrazy w drugim nawiasie co da Ci funkcję kwadratową stąd wyznaczysz brakujące pierwiastki. Podpisuje się pod radą
a4karo.
Tworze wiec takie równania
:
\(\displaystyle{ z = (iz+1)\cdot \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)\\
z = (iz+1)\cdot \left( -\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)
Próbując wyznaczyć z stąd
\(\displaystyle{ z}\) wychodzą mi jakieś skomplikowane wyrażenia. (te zadanie nie może być aż tak pogmatwane
)
To są równania liniowe więc ich skomplikować jest jedynie objętościowa.
\(\displaystyle{ z = (iz+1)\cdot \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)
\(\displaystyle{ z = iz\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)+ \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)
\(\displaystyle{ z - iz\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)= \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)
\(\displaystyle{ z\left( 1 - i\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)\right) = \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}{\left( 1 - i\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)\right)}=... =\frac{ \sqrt{3} }{2}-1+ \frac{i}{2} }\)
Podobnie z kolejnym pierwiastkiem. Nie jest to pogmatwane, raczej mało pasjonujące dlatego zaproponowałem inną wersję.