Znaleźć rozwiązania podanego równania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
krokodyl7wody
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 19 gru 2019, o 09:07
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 12 razy

Znaleźć rozwiązania podanego równania

Post autor: krokodyl7wody » 19 gru 2019, o 09:24

Znaleźć rozwiązania równania

\(\displaystyle{ z^{3} = (iz+1)^{3} }\)

Policzyłem \(\displaystyle{ z_{0} = iz + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i }\) (zgadza się z odpowiedzią do zadania)
Następnie wyznaczając kolejne 2 pierwiastki zgodnie ze wzorem \(\displaystyle{ z_{k} = z_{0}\left( \cos \frac{2 \pi k}{n} + i\sin \frac{2 \pi k}{n} \right) }\) gdzie \(\displaystyle{ n = 3 }\) oraz \(\displaystyle{ k = 1,..,n-1}\) otrzymuje wyniki niezgodne z odpowiedzią do zdania. Proszę aby ktoś rozwiązał podane równanie.

P.S Pierwszy post na forum.
Ostatnio zmieniony 19 gru 2019, o 15:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: na razie. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa tematu: znaleźć.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2780
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 904 razy

Re: Znaleść rozwiązania podanego równania

Post autor: Janusz Tracz » 19 gru 2019, o 09:54

Ten wzór się za bardzo nie przyda, służy on do wyznaczania pierwiastków gdy równanie ma postać \(\displaystyle{ z^n=a}\) a tu tak nie jest. Choć można sprowadzić to do powyższej postaci przekształcając:

\(\displaystyle{ \left( \frac{z}{iz+1}\right)^3=1 }\)

i kładąc \(\displaystyle{ w=\frac{z}{iz+1}}\) dostajemy \(\displaystyle{ w^3=1}\). Zatem rozwiązania to \(\displaystyle{ w\in\left\{ 1,e^{ \frac{2 \pi i}{3} },e^{ -\frac{2 \pi i}{3} }\right\} }\). Stąd łatwo już wrócić do zmiennej \(\displaystyle{ z}\).

Można jednak zastosować wzór na różnicę sześcianów co wydaje mi się szybsze.

\(\displaystyle{ z^3-(iz+1)^3= ((1+i)z-i)(z^2+(2-i)z-i)}\)

pierwszy nawias da Ci rozwiązanie które już masz. Z drugiego dostaniesz jeszcze dwa za pomocą delty standardowo.

krokodyl7wody
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 19 gru 2019, o 09:07
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 12 razy

Re: Znaleźć rozwiązania podanego równania

Post autor: krokodyl7wody » 19 gru 2019, o 17:53

Dzięki za odpowiedź :D aczkolwiek dalej nie rozumiem jak rozwiązać równanie. :?:
Sposób 1 :
\(\displaystyle{ w = \frac{z}{iz+1} }\) czyli \(\displaystyle{ w^{3} = 1 }\) więc \(\displaystyle{ w \in \left\{1, e^{ \frac{2 \pi i}{3} }, e^{ \frac{-2 \pi i}{3} } \right\} }\).

Przechodzę na postać kartezjańską i mam:
\(\displaystyle{ w_{0} = 1 }\)
\(\displaystyle{ w_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i }\)
\(\displaystyle{ w_{2} = - \frac{1}{2} -\frac{ \sqrt{3} }{2}i }\)
I nie wiem co dalej mam zrobić?

Sposób 2:
\(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=((1+i)z−i)(z^{2}+(2−i)z−i) }\)
Nie rozumiem jak otrzymałeś wyrażenie po prawej stronie znaku równości?

Dla mnie to jest coś takiego:
\(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=(z-(iz+1)(z^{2} +z(iz+1) + (iz+1)^{2}) }\)

Rozwiązaniem równania według odpowiedzi jest:
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{1-i}, \frac{-2}{1+i(2+ \sqrt{3} )}, \frac{-2}{1+i(2+ \sqrt{3} )} \right\}}\)

Pierwsze już mam ale z kolejnymi nie mam pojęcia.

Dodatkowo w jednym z przykładowych zdań z książki było \(\displaystyle{ z^{6} = (2+4i)^{6}}\)
i autorzy podręcznika liczyli z podanego przeze mnie wcześniej wzoru gdzie \(\displaystyle{ z_{0} = 2+4i}\)

Dodatkowo jeszcze zamieniłem
\(\displaystyle{ \frac{-2}{1+i(2- \sqrt{3} )} = \frac{-2 - \sqrt{3} +i }{2} }\)
\(\displaystyle{ \frac{-2}{1+i(2+ \sqrt{3} )} = \frac{-2 - \sqrt{3} +i }{2} }\)
Ostatnio zmieniony 19 gru 2019, o 18:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: przeze mnie

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2780
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 904 razy

Re: Znaleźć rozwiązania podanego równania

Post autor: Janusz Tracz » 19 gru 2019, o 22:40

I nie wiem co dalej mam zrobić?
Należy wrócić do zmiennej \(\displaystyle{ z}\). Czyli jak masz \(\displaystyle{ w=1}\) to teraz sprawdzasz kiedy \(\displaystyle{ \frac{z}{iz+1}=1}\) czyli \(\displaystyle{ z=iz+1}\) czyli \(\displaystyle{ z= \frac{1}{1-i} }\) i tak dalej dla dwóch pozostałych.
Nie rozumiem jak otrzymałeś wyrażenie po prawej stronie znaku równości?
Dla mnie to jest coś takiego: \(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=(z-(iz+1)(z^{2} +z(iz+1) + (iz+1)^{2})}\)
Spieszyłem dlatego rozłożyłem to Wolframem. Niemniej jednak to co proponujesz też jest dobre i pewnie jak policzysz to co jest w drugim nawiasie i pogrupujesz względem \(\displaystyle{ z}\) to wyjdzie to co zaproponowałem. To tylko techniczna kwestia. Możemy podstać przy Twojej wersji.
Dodatkowo w jednym z przykładowych zdań z książki było \(\displaystyle{ z^{6} = (2+4i)^{6}}\) i autorzy podręcznika liczyli z podanego przeze mnie wcześniej wzoru gdzie \(\displaystyle{ z_{0} = 2+4i}\)
Ok. A jaki to ma związek?

krokodyl7wody
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 19 gru 2019, o 09:07
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 12 razy

Re: Znaleźć rozwiązania podanego równania

Post autor: krokodyl7wody » 21 gru 2019, o 21:54

Dodatkowo w jednym z przykładowych zdań z książki było \(\displaystyle{ z^{6}=(2+4i)^{6}}\) i autorzy podręcznika liczyli z podanego przeze mnie wcześniej wzoru gdzie\(\displaystyle{ z_{0}=2+4i}\)
Ok. A jaki to ma związek?
Panie Januszu napisał Pan :
Ten wzór się za bardzo nie przyda, służy on do wyznaczania pierwiastków gdy równanie ma postać \(\displaystyle{ z^{n} = a }\) a tu tak nie jest.
A w przykładzie z książki: \(\displaystyle{ z^{6}=(2+4i)^{6}}\) został wykorzystany wcześniej wspomniany już wzór. Dlatego zastanawia mnie czemu w przypadku równania \(\displaystyle{ x^{3} = y^{3}}\) nie mogę go zastosować .

Wracając do zadania:
\(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=((1+i)z−i)(z^{2}+(2−i)z−i) }\)
Tak jak Pan pisał wyliczyłem z drugiego nawiasu brakujące dwa pierwiastki tylko nie mam pojęcia jak do takiej postaci doprowadzić bez użycia "wolframa" dlatego ten sposób odpada dla mnie :)
Należy wrócić do zmiennej \(\displaystyle{ z }\). Czyli jak masz \(\displaystyle{ w=1}\) to teraz sprawdzasz kiedy \(\displaystyle{ \frac{z}{iz+1} =1}\) czyli \(\displaystyle{ z = iz+1}\) czyli \(\displaystyle{ z = \frac{1}{1-i} }\) i tak dalej dla dwóch pozostałych.
Tworze wiec takie równania :?: :
\(\displaystyle{ z = (iz+1)\cdot \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)\\
z = (iz+1)\cdot \left( -\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)


Próbując wyznaczyć z stąd \(\displaystyle{ z}\) wychodzą mi jakieś skomplikowane wyrażenia. (te zadanie nie może być aż tak pogmatwane :) )
Proszę jeżeli ktoś ma trochę czasu o rozwiązanie mojego problemu i podanie odpowiednich obliczeń jak to wszystko wyliczyć :mrgreen:
Ostatnio zmieniony 21 gru 2019, o 22:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18142
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3061 razy

Re: Znaleźć rozwiązania podanego równania

Post autor: a4karo » 21 gru 2019, o 22:09

A znasz taki wzór: `a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)`? No to wstaw za `a` i `b` to co trzeba i wylicz to bez Wolframa

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2780
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 904 razy

Re: Znaleźć rozwiązania podanego równania

Post autor: Janusz Tracz » 22 gru 2019, o 10:42

A w przykładzie z książki: \(\displaystyle{ z^{6}=(2+4i)^{6}}\) został wykorzystany wcześniej wspomniany już wzór. Dlatego zastanawia mnie czemu w przypadku równania \(\displaystyle{ z^3=y^3}\) nie mogę go zastosować.
To jest w tym wątku kwestia najistotniejsza. Wzór zastosować możesz wtedy gdy prawa strona równania jest stała. Tak jak pisałem już wcześniej wzór można stosować do równań postaci \(\displaystyle{ z^n=a}\) gdzie \(\displaystyle{ a\in\CC}\) oraz liczba \(\displaystyle{ a}\) nie zależy od \(\displaystyle{ z}\). Dlatego do przykładu \(\displaystyle{ z^{6}=(2+4i)^{6}}\) można zastosować ów wzór. A do \(\displaystyle{ z^{3} = (iz+1)^{3} }\) nie można bo każda ze stron zależy od \(\displaystyle{ z}\) (no chyba, że zrobimy sztuczkę z dzieleniem i podstawieniem \(\displaystyle{ w}\)).
Dlatego zastanawia mnie czemu w przypadku równania \(\displaystyle{ z^3=y^3}\) nie mogę go zastosować.
Teraz sam powinieneś umieć odpowiedzieć sobie na to pytanie. Jeśli \(\displaystyle{ y}\) jest stałą liczbą niezależną od \(\displaystyle{ z}\) to możesz zastosować wzór a jeśli \(\displaystyle{ y=y(z)}\) to nie możesz (no chyba, że zrobisz sztuczkę i napiszesz \(\displaystyle{ \left( \frac{z}{y} \right)^3=1 }\) wtedy po prawej jest stała liczba).
Wracając do zadania: \(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=((1+i)z−i)(z^{2}+(2−i)z−i)}\)
Tak jak Pan pisał wyliczyłem z drugiego nawiasu brakujące dwa pierwiastki tylko nie mam pojęcia jak do takiej postaci doprowadzić bez użycia "wolframa" dlatego ten sposób odpada dla mnie
Pisałem o wykorzystaniu wzorów skróconego mnożenia (nawet konkretnych), wydało mi się to wystarczającą wskazówką. A potem i tak zaproponowałem, żeby pozostać przy Twojej wersji \(\displaystyle{ z^{3}−(iz+1)^{3}=(z-(iz+1))(z^{2} +z(iz+1) + (iz+1)^{2})}\) co do której nie masz wątpliwości. Uporządkuj wyrazy w drugim nawiasie co da Ci funkcję kwadratową stąd wyznaczysz brakujące pierwiastki. Podpisuje się pod radą a4karo.
Tworze wiec takie równania :?: :
\(\displaystyle{ z = (iz+1)\cdot \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)\\
z = (iz+1)\cdot \left( -\frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)

Próbując wyznaczyć z stąd \(\displaystyle{ z}\) wychodzą mi jakieś skomplikowane wyrażenia. (te zadanie nie może być aż tak pogmatwane :) )
To są równania liniowe więc ich skomplikować jest jedynie objętościowa.

\(\displaystyle{ z = (iz+1)\cdot \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)

\(\displaystyle{ z = iz\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)+ \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)

\(\displaystyle{ z - iz\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)= \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)

\(\displaystyle{ z\left( 1 - i\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)\right) = \left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)

\(\displaystyle{ z= \frac{\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}{\left( 1 - i\left( -\frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)\right)}=... =\frac{ \sqrt{3} }{2}-1+ \frac{i}{2} }\)

Podobnie z kolejnym pierwiastkiem. Nie jest to pogmatwane, raczej mało pasjonujące dlatego zaproponowałem inną wersję.

krokodyl7wody
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 19 gru 2019, o 09:07
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 12 razy

Re: Znaleźć rozwiązania podanego równania

Post autor: krokodyl7wody » 23 gru 2019, o 09:02

a4karo pisze:
21 gru 2019, o 22:09
A znasz taki wzór: `a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)`? No to wstaw za `a` i `b` to co trzeba i wylicz to bez Wolframa
a4karo dzięki za rade ale nie potrafię doprowadzić tego do odpowiedniej postaci :) . Wole liczyć z tych równań liniowych

Janusz Tracz dzięki za pomoc i wytłumaczenie :lol: w końcu zrozumiałem :idea:

Wesołych Świąt Panowie

ODPOWIEDZ