Matematyka.pl

]Jaki jest najszybszy sposób na rozwiązanie zagadnienia z tematu ? Co z takim przykładem
\(\displaystyle{ z^8+z^{16}=z^{24}+1}\)

Można pogrupować.

\(\displaystyle{ z^8\left( 1+z^8\right) =\left( 1+z^8\right)\left( z^{16}-z^8+1\right) }\)

zatem \(\displaystyle{ z^8=-1}\) co daje \(\displaystyle{ 8}\) rozwiązań. Dla pozostałych liczb mamy \(\displaystyle{ z^8= z^{16}-z^8+1}\) co upraszcza się do \(\displaystyle{ z^{16}-2z^8+1=0}\) czyli \(\displaystyle{ \left( z^8-1\right)^2=0 }\) czyli \(\displaystyle{ z^8=1}\) co również daje \(\displaystyle{ 8}\) pierwiastków.

Szczerze mówiąc, chyba bym na to nie wpadł. Jest moze jeszcze inny sposób ?

Przybyl pisze: ↑12 gru 2019, o 17:09 Jest moze jeszcze inny sposób ?

Zmienna pomocnicza:
Niech \(\displaystyle{ z^8=t}\)
Wtedy \(\displaystyle{ t+t^{2}=t^{3}+1}\)
\(\displaystyle{ t^{3}-t^{2}-t+1=0\iff (t+1)(t-1)^2=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ z^8=-1\vee z^8=1}\)

Pozdrawiam

Prościej będzie tak:
\(0=z^{24}-z^{16}-z^8+1=z^{16}(z^8-1)-(z^8-1)=(z^{16}-1)(z^8-1)\)
Pierwszy czynnik ma szesnaście różnych pierwiastków a drugi osiem, ale każdy pierwiastek drugiego czynnika jest pierwiastkiem pierwszego, więc różnych jest szesnaście.

Okay a co z takim czymś.
\(\displaystyle{ z^9+z^{15}=z^{24}+1}\)
zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ (z^9-1)(z^{15}-1)=0}\)
jednak odpowiedź to 21

Przybyl pisze: ↑12 gru 2019, o 18:04zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ (z^9-1)(z^{15}-1)=0}\)
jednak odpowiedź to 21

Musisz ustalić, ile pierwiastków jest wspólnych. Zauważ, że argumenty pierwiastków dziewiątego stopnia z jedynki są wielokrotnościami \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{9} }\), a argumenty pierwiastków piętnastego stopnia z jedynki są wielokrotnościami \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{15} }\). Ile razy te wielokrotności pokryją się?

JK

Wychodzi na to, że 21, jednak nie potrafię sobie tego wyobrazić na płaszczyźnie zespolonej

Przybyl pisze: ↑12 gru 2019, o 18:21jednak nie potrafię sobie tego wyobrazić na płaszczyźnie zespolonej

Czego? Pierwiastków jedynki?

JK

Wezmę kartkę i to po prostu obliczę, może tak mi będzie łatwiej

Okay jak sobie rozpisałem te pierwiastki to wszystko mi ładnie wyszło. Rzeczywiście jest ich 21

Przy kolejnym przykładziej uż wiem jak to robić. Dziękuję bardzo