Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 19 razy
Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie
]Jaki jest najszybszy sposób na rozwiązanie zagadnienia z tematu ? Co z takim przykładem
\(\displaystyle{ z^8+z^{16}=z^{24}+1}\)
\(\displaystyle{ z^8+z^{16}=z^{24}+1}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie
Można pogrupować.
\(\displaystyle{ z^8\left( 1+z^8\right) =\left( 1+z^8\right)\left( z^{16}-z^8+1\right) }\)
zatem \(\displaystyle{ z^8=-1}\) co daje \(\displaystyle{ 8}\) rozwiązań. Dla pozostałych liczb mamy \(\displaystyle{ z^8= z^{16}-z^8+1}\) co upraszcza się do \(\displaystyle{ z^{16}-2z^8+1=0}\) czyli \(\displaystyle{ \left( z^8-1\right)^2=0 }\) czyli \(\displaystyle{ z^8=1}\) co również daje \(\displaystyle{ 8}\) pierwiastków.
\(\displaystyle{ z^8\left( 1+z^8\right) =\left( 1+z^8\right)\left( z^{16}-z^8+1\right) }\)
zatem \(\displaystyle{ z^8=-1}\) co daje \(\displaystyle{ 8}\) rozwiązań. Dla pozostałych liczb mamy \(\displaystyle{ z^8= z^{16}-z^8+1}\) co upraszcza się do \(\displaystyle{ z^{16}-2z^8+1=0}\) czyli \(\displaystyle{ \left( z^8-1\right)^2=0 }\) czyli \(\displaystyle{ z^8=1}\) co również daje \(\displaystyle{ 8}\) pierwiastków.
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 19 razy
Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie
Szczerze mówiąc, chyba bym na to nie wpadł. Jest moze jeszcze inny sposób ?
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie
Zmienna pomocnicza:
Niech \(\displaystyle{ z^8=t}\)
Wtedy \(\displaystyle{ t+t^{2}=t^{3}+1}\)
\(\displaystyle{ t^{3}-t^{2}-t+1=0\iff (t+1)(t-1)^2=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ z^8=-1\vee z^8=1}\)
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 22175
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie
Prościej będzie tak:
\(0=z^{24}-z^{16}-z^8+1=z^{16}(z^8-1)-(z^8-1)=(z^{16}-1)(z^8-1)\)
Pierwszy czynnik ma szesnaście różnych pierwiastków a drugi osiem, ale każdy pierwiastek drugiego czynnika jest pierwiastkiem pierwszego, więc różnych jest szesnaście.
\(0=z^{24}-z^{16}-z^8+1=z^{16}(z^8-1)-(z^8-1)=(z^{16}-1)(z^8-1)\)
Pierwszy czynnik ma szesnaście różnych pierwiastków a drugi osiem, ale każdy pierwiastek drugiego czynnika jest pierwiastkiem pierwszego, więc różnych jest szesnaście.
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 19 razy
Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie
Okay a co z takim czymś.
\(\displaystyle{ z^9+z^{15}=z^{24}+1}\)
zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ (z^9-1)(z^{15}-1)=0}\)
jednak odpowiedź to 21
\(\displaystyle{ z^9+z^{15}=z^{24}+1}\)
zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ (z^9-1)(z^{15}-1)=0}\)
jednak odpowiedź to 21
-
- Administrator
- Posty: 34134
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5193 razy
Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie
Musisz ustalić, ile pierwiastków jest wspólnych. Zauważ, że argumenty pierwiastków dziewiątego stopnia z jedynki są wielokrotnościami \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{9} }\), a argumenty pierwiastków piętnastego stopnia z jedynki są wielokrotnościami \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{15} }\). Ile razy te wielokrotności pokryją się?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 19 razy
Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie
Wychodzi na to, że 21, jednak nie potrafię sobie tego wyobrazić na płaszczyźnie zespolonej
-
- Administrator
- Posty: 34134
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5193 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 4 maja 2016, o 22:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 19 razy
Re: Podać liczbę liczb zespolonych z spełniających podane równanie
Wezmę kartkę i to po prostu obliczę, może tak mi będzie łatwiej
Okay jak sobie rozpisałem te pierwiastki to wszystko mi ładnie wyszło. Rzeczywiście jest ich 21
Przy kolejnym przykładziej uż wiem jak to robić. Dziękuję bardzo
Okay jak sobie rozpisałem te pierwiastki to wszystko mi ładnie wyszło. Rzeczywiście jest ich 21
Przy kolejnym przykładziej uż wiem jak to robić. Dziękuję bardzo