Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które są rozwazaniami równania:

[lu90ein]

Znajdź wszystkie liczby zespolone \(\displaystyle{ z}\), które są rozwiązaniami równania:

a) \(\displaystyle{ z^{2}=-8+6i}\)
b) \(\displaystyle{ z^{2}-(3+5i)z-2+9i=0}\)

Z a) wychodzi mi \(\displaystyle{ z=\pm(1+3i)}\), ale z b) nie chce mi już wyjść jak w odpowiedziach \(\displaystyle{ z=2+i}\) lub \(\displaystyle{ z=1+4i}\). Dlaczego?

[Tmkk]

Ja nie wiem dlaczego, ale może gdy pokażesz, jak liczysz, to będę wiedział.

[janusz47]

b)

\(\displaystyle{ z^2 -(3 +5i)z -2 +9i = 0 }\)

\(\displaystyle{ \Delta = [-(3 +5i)]^2 =4\cdot 1 \cdot (-2 +9i) = [(3 +5i)]^2 -4\cdot 1 \cdot (-2 +9i) = 9 +30i -25 +8 -36i = -8 - 6i }\)

\(\displaystyle{ z_{1} = \frac{(3+5i) +\sqrt{ -8- 6i}}{2}, \ \ z_{2} = \frac{(3+5i) -\sqrt{ -8 - 6i}}{2} \ \ (1) }\)

Skorzystamy z użytecznego twierdzenia

Jeśli \(\displaystyle{ a, \ \ b }\) są liczbami rzeczywistymi, to pierwiastki stopnia drugiego z liczb \(\displaystyle{ z = a + ib }\) są liczbami:

\(\displaystyle{ w = \pm \left( \sqrt{\frac{|z|+a}{2}} + i \cdot sign(b)\sqrt{\frac{|z|- a}{2}}\right) \ \ (2)}\)

Proszę udowodnić to twierdzenie, podnosząc równanie \(\displaystyle{ (2) }\) obustronnie do kwadratu.

Na podstawie wzoru \(\displaystyle{ (2) }\) obliczamy pierwiastki kwadratowe z liczby \(\displaystyle{ -8 - 6i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-8 - 6i} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} - 8}{2}} - i \sqrt{\frac{ \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} +8}{2}} \right) }\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-8- 6i} = \pm \left(\sqrt{\frac{10 -8}{2}}- i \sqrt{\frac{10 +8}{2}}\right) = \pm (1 - 3i ) \ \ (3) }\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ (3) }\) do \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ z_{1} = \frac{ 3 + 5i + ( 1 -3i)}{2} = \frac{ 4 +2i}{2} = 2 +i }\)

\(\displaystyle{ z_{2} = \frac{3 +5i -(1-3i)}{2} = \frac{2 +8i}{2} = 1 + 4i. }\)

Uwaga

Jeśli nie znamy twierdzenia, to wtedy musimy znać wzory skróconego mnożenia i więcej się naliczyć.

Dodano po 1 godzinie 34 minutach 15 sekundach:
Sposób drugi

Uzupełniamy równanie do kwadratu dwumianu

\(\displaystyle{ z^2 -(3 +5i )z -2 +9i = z^2 -2\left(\frac{3 +5i }{2} \right)z +\left(\frac{3 +5i }{2} \right)^2 - \left(\frac{3 +5i }{2} \right)^2 -2 +9i = 0 }\)

\(\displaystyle{ \left( z - \frac{3 +5i}{2} \right)^2 - \frac{9 + 30i -25}{4} -2 + 9i = 0 }\)

\(\displaystyle{ \left( z - \frac{3 +5i}{2} \right)^2 + \frac{-9 -30i +25 -8 +36i}{4} = 0 }\)

\(\displaystyle{ \left( z - \frac{3 +5i}{2} \right)^2 - \left( \frac{-8 -6i}{4}\right) = 0 }\)

\(\displaystyle{ \left(z - \frac{3+ 5i}{2} \right)^2 - \left(\frac{1 -3i}{2}\right)^2 =0. }\)

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

\(\displaystyle{ \left( z - \frac{3+5i}{2} +\frac{1 -3i}{2} \right)\left( z - \frac{3+5i}{2} -\frac{1 -3i}{2} \right) = 0. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ z_{1} = \frac{3+5i}{2}- \frac{1-3i}{2} = \frac{2 +8i}{2} = 1 + 4i,}\)

\(\displaystyle{ z_{2} = \frac{3+5i}{2}+ \frac{1-3i}{2} = \frac{4 +2i}{2} = 2 + i.}\)

[a4karo]

b)


Skorzystamy z użytecznego twierdzenia

Jeśli \(\displaystyle{ a, \ \ b }\) są liczbami rzeczywistymi, to pierwiastki stopnia drugiego z liczb \(\displaystyle{ z = a + ib }\) są liczbami:

\(\displaystyle{ w = \pm \left( \sqrt{\frac{|z|+a}{2}} + i \cdot sign(b)\sqrt{\frac{|z|- a}{2}}\right) \ \ (2)}\)

Proszę udowodnić to twierdzenie, podnosząc równanie \(\displaystyle{ (2) }\) obustronnie do kwadratu.

Wzory dzielą sie na dwie katgorie:
wzory, które są użyteczne i
wzory, które są.

W całej mojej karierze (a zajmuję się matematyką ponad 50 lat) przyszło mi liczyć pierwiastki z liczb zespolonych może trzy razy. Pamiętanie na tę okoliczność dość skomplikowanego wzoru wydaje się nadmiernym angażowaniem zasobów (tym bardziej, że każesz go użytkownikowi udowodnić ) .

Gratulacje natomiast dla układającego zadanie: z pierwszego zadania mamy, że rozwiązaniami równania \({z}^2=-8+6i\) są liczby \(\pm(1+3i)\) a stąd natychmiast wynika, że te same liczby rozwiązują równanie \(\overline{z}^2=-8-6i\), więc pierwiastkami z \(-8-6i\) są liczby \(\pm(1-3i)\)

[janusz47]

Na GAL'u UW ten wzór jest obowiązkowy do zapamiętania podczas omawiania ciała liczb zespolonych. Nie wiem jak jest na innych uczelniach.

[Tmkk]

Na GAL'u UW ten wzór jest obowiązkowy do zapamiętania podczas omawiania ciała liczb zespolonych. Nie wiem jak jest na innych uczelniach.

??? Chyba cudem ten gal zdałem, bo nigdy takiego wzoru na oczy nie widziałem

[janusz47]

A z kim był ten GAL ? Jeśli to nie jest tajemnica.

[Gosda]

Zgadzam się z a4karo (i nie jestem po UW). Pojemność ludzkiego umysłu jest ograniczona, a matematycznych faktów, o których warto pamiętać, całkiem sporo Ja nigdy nie musiałem rozwiązywać (zespolonych) równań kwadratowych i całe szczęście. Wzoru wspomnianego wyżej też nie widziałem aż do dzisiaj. Natomiast pamiętałem o uzupełnianiu do kwadratu, sam próbowałbym doprowadzić do postaci

\(\displaystyle{ (x - a)^2 = b}\)

po czym próbował zgadnąć jakiś zespolony pierwiastek liczby \(\displaystyle{ b}\). Wiadomo, że do zadań zazwyczaj wybiera się takie liczby, żeby wynik przyjemny, dlatego zaznaczyłbym w układzie współrzędnych okrąg o środku w początku, który przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (-8, 6)}\), poszukał dwusiecznej odpowiedniego kąta oraz jej przecięcia z okręgiem i potem już prostym rachunkiem potwierdził, że \(\displaystyle{ (1+3i)^2 = -8 + 6i}\).