Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które są rozwazaniami równania:

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
lu90ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 11 lis 2019, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
wiek: 28
Podziękował: 1 raz

Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które są rozwazaniami równania:

Post autor: lu90ein » 25 lis 2019, o 18:35

Znajdź wszystkie liczby zespolone \(\displaystyle{ z}\), które są rozwiązaniami równania:

a) \(\displaystyle{ z^{2}=-8+6i}\)
b) \(\displaystyle{ z^{2}-(3+5i)z-2+9i=0}\)

Z a) wychodzi mi \(\displaystyle{ z=\pm(1+3i)}\), ale z b) nie chce mi już wyjść jak w odpowiedziach \(\displaystyle{ z=2+i}\) lub \(\displaystyle{ z=1+4i}\). Dlaczego?
Ostatnio zmieniony 25 lis 2019, o 19:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1329
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 347 razy

Re: Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które są rozwazaniami równania:

Post autor: Tmkk » 25 lis 2019, o 18:41

Ja nie wiem dlaczego, ale może gdy pokażesz, jak liczysz, to będę wiedział.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które są rozwazaniami równania:

Post autor: janusz47 » 25 lis 2019, o 20:50

b)

\(\displaystyle{ z^2 -(3 +5i)z -2 +9i = 0 }\)

\(\displaystyle{ \Delta = [-(3 +5i)]^2 =4\cdot 1 \cdot (-2 +9i) = [(3 +5i)]^2 -4\cdot 1 \cdot (-2 +9i) = 9 +30i -25 +8 -36i = -8 - 6i }\)

\(\displaystyle{ z_{1} = \frac{(3+5i) +\sqrt{ -8- 6i}}{2}, \ \ z_{2} = \frac{(3+5i) -\sqrt{ -8 - 6i}}{2} \ \ (1) }\)

Skorzystamy z użytecznego twierdzenia

Jeśli \(\displaystyle{ a, \ \ b }\) są liczbami rzeczywistymi, to pierwiastki stopnia drugiego z liczb \(\displaystyle{ z = a + ib }\) są liczbami:

\(\displaystyle{ w = \pm \left( \sqrt{\frac{|z|+a}{2}} + i \cdot sign(b)\sqrt{\frac{|z|- a}{2}}\right) \ \ (2)}\)

Proszę udowodnić to twierdzenie, podnosząc równanie \(\displaystyle{ (2) }\) obustronnie do kwadratu.

Na podstawie wzoru \(\displaystyle{ (2) }\) obliczamy pierwiastki kwadratowe z liczby \(\displaystyle{ -8 - 6i}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-8 - 6i} = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} - 8}{2}} - i \sqrt{\frac{ \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} +8}{2}} \right) }\)

\(\displaystyle{ \sqrt{-8- 6i} = \pm \left(\sqrt{\frac{10 -8}{2}}- i \sqrt{\frac{10 +8}{2}}\right) = \pm (1 - 3i ) \ \ (3) }\)

Podstawiamy \(\displaystyle{ (3) }\) do \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ z_{1} = \frac{ 3 + 5i + ( 1 -3i)}{2} = \frac{ 4 +2i}{2} = 2 +i }\)

\(\displaystyle{ z_{2} = \frac{3 +5i -(1-3i)}{2} = \frac{2 +8i}{2} = 1 + 4i. }\)

Uwaga

Jeśli nie znamy twierdzenia, to wtedy musimy znać wzory skróconego mnożenia i więcej się naliczyć.

Dodano po 1 godzinie 34 minutach 15 sekundach:
Sposób drugi

Uzupełniamy równanie do kwadratu dwumianu

\(\displaystyle{ z^2 -(3 +5i )z -2 +9i = z^2 -2\left(\frac{3 +5i }{2} \right)z +\left(\frac{3 +5i }{2} \right)^2 - \left(\frac{3 +5i }{2} \right)^2 -2 +9i = 0 }\)

\(\displaystyle{ \left( z - \frac{3 +5i}{2} \right)^2 - \frac{9 + 30i -25}{4} -2 + 9i = 0 }\)

\(\displaystyle{ \left( z - \frac{3 +5i}{2} \right)^2 + \frac{-9 -30i +25 -8 +36i}{4} = 0 }\)

\(\displaystyle{ \left( z - \frac{3 +5i}{2} \right)^2 - \left( \frac{-8 -6i}{4}\right) = 0 }\)

\(\displaystyle{ \left(z - \frac{3+ 5i}{2} \right)^2 - \left(\frac{1 -3i}{2}\right)^2 =0. }\)

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów:

\(\displaystyle{ \left( z - \frac{3+5i}{2} +\frac{1 -3i}{2} \right)\left( z - \frac{3+5i}{2} -\frac{1 -3i}{2} \right) = 0. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ z_{1} = \frac{3+5i}{2}- \frac{1-3i}{2} = \frac{2 +8i}{2} = 1 + 4i,}\)

\(\displaystyle{ z_{2} = \frac{3+5i}{2}+ \frac{1-3i}{2} = \frac{4 +2i}{2} = 2 + i.}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18285
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3086 razy

Re: Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które są rozwazaniami równania:

Post autor: a4karo » 26 lis 2019, o 10:44

janusz47 pisze:
25 lis 2019, o 22:24
b)


Skorzystamy z użytecznego twierdzenia

Jeśli \(\displaystyle{ a, \ \ b }\) są liczbami rzeczywistymi, to pierwiastki stopnia drugiego z liczb \(\displaystyle{ z = a + ib }\) są liczbami:

\(\displaystyle{ w = \pm \left( \sqrt{\frac{|z|+a}{2}} + i \cdot sign(b)\sqrt{\frac{|z|- a}{2}}\right) \ \ (2)}\)

Proszę udowodnić to twierdzenie, podnosząc równanie \(\displaystyle{ (2) }\) obustronnie do kwadratu.

Wzory dzielą sie na dwie katgorie:
wzory, które są użyteczne i
wzory, które są.

W całej mojej karierze (a zajmuję się matematyką ponad 50 lat) przyszło mi liczyć pierwiastki z liczb zespolonych może trzy razy. Pamiętanie na tę okoliczność dość skomplikowanego wzoru wydaje się nadmiernym angażowaniem zasobów (tym bardziej, że każesz go użytkownikowi udowodnić ) :o .

Gratulacje natomiast dla układającego zadanie: z pierwszego zadania mamy, że rozwiązaniami równania \({z}^2=-8+6i\) są liczby \(\pm(1+3i)\) a stąd natychmiast wynika, że te same liczby rozwiązują równanie \(\overline{z}^2=-8-6i\), więc pierwiastkami z \(-8-6i\) są liczby \(\pm(1-3i)\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które są rozwazaniami równania:

Post autor: janusz47 » 26 lis 2019, o 12:27

Na GAL'u UW ten wzór jest obowiązkowy do zapamiętania podczas omawiania ciała liczb zespolonych. Nie wiem jak jest na innych uczelniach.

Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1329
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 347 razy

Re: Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które są rozwazaniami równania:

Post autor: Tmkk » 26 lis 2019, o 15:36

janusz47 pisze:
26 lis 2019, o 12:27
Na GAL'u UW ten wzór jest obowiązkowy do zapamiętania podczas omawiania ciała liczb zespolonych. Nie wiem jak jest na innych uczelniach.
??? :roll: Chyba cudem ten gal zdałem, bo nigdy takiego wzoru na oczy nie widziałem

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które są rozwazaniami równania:

Post autor: janusz47 » 26 lis 2019, o 20:04

A z kim był ten GAL ? Jeśli to nie jest tajemnica.

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Znajdź wszystkie liczby zespolone z, które są rozwazaniami równania:

Post autor: Gosda » 26 lis 2019, o 20:34

Zgadzam się z a4karo (i nie jestem po UW). Pojemność ludzkiego umysłu jest ograniczona, a matematycznych faktów, o których warto pamiętać, całkiem sporo :D Ja nigdy nie musiałem rozwiązywać (zespolonych) równań kwadratowych i całe szczęście. Wzoru wspomnianego wyżej też nie widziałem aż do dzisiaj. Natomiast pamiętałem o uzupełnianiu do kwadratu, sam próbowałbym doprowadzić do postaci

\(\displaystyle{ (x - a)^2 = b}\)

po czym próbował zgadnąć jakiś zespolony pierwiastek liczby \(\displaystyle{ b}\). Wiadomo, że do zadań zazwyczaj wybiera się takie liczby, żeby wynik przyjemny, dlatego zaznaczyłbym w układzie współrzędnych okrąg o środku w początku, który przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (-8, 6)}\), poszukał dwusiecznej odpowiedniego kąta oraz jej przecięcia z okręgiem i potem już prostym rachunkiem potwierdził, że \(\displaystyle{ (1+3i)^2 = -8 + 6i}\).

ODPOWIEDZ