Mam trzy równania do rozwiązania:
a)\(\displaystyle{ z^2+2 \bar{z}=0}\)
b)\(\displaystyle{ \frac{z+1}{\bar{z}-1}=-1}\)
c)\(\displaystyle{ (z+2)^2=(\bar{z}-3)^2}\)
Mógłby mi ktoś wytłumaczyć albo podać jakieś dobre źródło gdzie jest jasno wytłumaczone jak się rozwiązuje równania gdzie jest jednocześnie \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ \bar{z}}\) ?
Równania zespolone
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Równania zespolone
a)
Niech \(\displaystyle{ z=x+iy, \ x,y\in \RR}\). Wówczas \(\displaystyle{ \overline{z}=x-iy}\) i równanie
\(\displaystyle{ z^{2}+2\overline{z}=0}\) przyjmuje formę
\(\displaystyle{ \left(x+iy\right)^{2}+2(x-iy)=0\\x^{2}+i\cdot 2xy-y^{2}+2x-2iy=0}\)
Przyrównujemy do zera część rzeczywistą i urojoną i dostajemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+2x-y^{2}=0\\2xy-2y=0\end{cases}}\)
Z drugiego równania mamy \(\displaystyle{ y=0\vee x=1}\). Dla \(\displaystyle{ y=0}\) pierwsze równanie przyjmuje formę
\(\displaystyle{ x^{2}+2x=0}\), stąd \(\displaystyle{ x=0\vee x=-2}\), więc rozwiązaniami są liczby
\(\displaystyle{ 0+i\cdot 0=0, \ -2+i\cdot 0=-2}\). Natomiast dla \(\displaystyle{ x=1}\) pierwsze równanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ 3-y^{2}=0}\), stąd \(\displaystyle{ y=\sqrt{3}\vee y=-\sqrt{3}}\), toteż rozwiązaniami są liczby
\(\displaystyle{ 1+i\sqrt{3}, \ 1-i\sqrt{3}}\). Ostatecznie
\(\displaystyle{ z\in \left\{-2; \ 0; \ 1-i\sqrt{3}; \ 1+i\sqrt{3} \right\}}\).
Niech \(\displaystyle{ z=x+iy, \ x,y\in \RR}\). Wówczas \(\displaystyle{ \overline{z}=x-iy}\) i równanie
\(\displaystyle{ z^{2}+2\overline{z}=0}\) przyjmuje formę
\(\displaystyle{ \left(x+iy\right)^{2}+2(x-iy)=0\\x^{2}+i\cdot 2xy-y^{2}+2x-2iy=0}\)
Przyrównujemy do zera część rzeczywistą i urojoną i dostajemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+2x-y^{2}=0\\2xy-2y=0\end{cases}}\)
Z drugiego równania mamy \(\displaystyle{ y=0\vee x=1}\). Dla \(\displaystyle{ y=0}\) pierwsze równanie przyjmuje formę
\(\displaystyle{ x^{2}+2x=0}\), stąd \(\displaystyle{ x=0\vee x=-2}\), więc rozwiązaniami są liczby
\(\displaystyle{ 0+i\cdot 0=0, \ -2+i\cdot 0=-2}\). Natomiast dla \(\displaystyle{ x=1}\) pierwsze równanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ 3-y^{2}=0}\), stąd \(\displaystyle{ y=\sqrt{3}\vee y=-\sqrt{3}}\), toteż rozwiązaniami są liczby
\(\displaystyle{ 1+i\sqrt{3}, \ 1-i\sqrt{3}}\). Ostatecznie
\(\displaystyle{ z\in \left\{-2; \ 0; \ 1-i\sqrt{3}; \ 1+i\sqrt{3} \right\}}\).
Re: Równania zespolone
w b wyszlo mi \(\displaystyle{ x\in\lbrace0\rbrace}\)
a w c \(\displaystyle{ x\in \lbrace\frac{1}{2} \pm Ri\rbrace}\)
Ri- czyli wszystkie liczby zespolone
bo miałem taki układ równań na końcu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4xy-2y=0\\10x-5=0\end{cases}}\)
Sprawdzi ktoś czy dobrze?
a w c \(\displaystyle{ x\in \lbrace\frac{1}{2} \pm Ri\rbrace}\)
Ri- czyli wszystkie liczby zespolone
bo miałem taki układ równań na końcu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4xy-2y=0\\10x-5=0\end{cases}}\)
Sprawdzi ktoś czy dobrze?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Równania zespolone
b) Niestety niedobrze.
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{\overline{z}-1}=-1 }\)
Oczywiście musi być \(\displaystyle{ z\neq 1}\). Mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ \overline{z}-1}\) i mamy
\(\displaystyle{ z+1=1-\overline z\\z+\overline z=0\\ 2 \mathrm{Re} \ z=0\\\mathrm{Re} \ z=0}\)
a zatem rozwiązaniami są wszystkie liczby mające zerową część rzeczywistą
c) Poprawnie.
\(\displaystyle{ (z+2)^{2}=(\overline{z}-3)^{2}\\ (z+2)^{2}-(\overline{z}-3)^{2}=0\\(z+2-\overline{z}+3)(z+2+\overline{z}-3)=0\\z-\overline z=-5\vee z+\overline z=1\\ 2i \ \mathrm{Im} \ z=-5\vee 2\mathrm{Re} \ z=1}\)
Oczywiście pierwsza możliwość prowadzi do sprzeczności, zaś druga daje nam \(\displaystyle{ \mathrm{Re} \ z=\frac{1}{2}}\) i liczby spełniające tę własność są rozwiązaniami równania.
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{\overline{z}-1}=-1 }\)
Oczywiście musi być \(\displaystyle{ z\neq 1}\). Mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ \overline{z}-1}\) i mamy
\(\displaystyle{ z+1=1-\overline z\\z+\overline z=0\\ 2 \mathrm{Re} \ z=0\\\mathrm{Re} \ z=0}\)
a zatem rozwiązaniami są wszystkie liczby mające zerową część rzeczywistą
c) Poprawnie.
\(\displaystyle{ (z+2)^{2}=(\overline{z}-3)^{2}\\ (z+2)^{2}-(\overline{z}-3)^{2}=0\\(z+2-\overline{z}+3)(z+2+\overline{z}-3)=0\\z-\overline z=-5\vee z+\overline z=1\\ 2i \ \mathrm{Im} \ z=-5\vee 2\mathrm{Re} \ z=1}\)
Oczywiście pierwsza możliwość prowadzi do sprzeczności, zaś druga daje nam \(\displaystyle{ \mathrm{Re} \ z=\frac{1}{2}}\) i liczby spełniające tę własność są rozwiązaniami równania.