Równanie z liczbami zespolonymi

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
kwdrt4000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 lis 2019, o 18:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 11 razy

Równanie z liczbami zespolonymi

Post autor: kwdrt4000 »

\(\displaystyle{ (2z-2)^4 = (\frac{3}{5} +\frac{4}{5}i)^8 }\)

Rozbiłem prawe wyrażenie na \(\displaystyle{ ((\frac{3}{5} +\frac{4}{5}i)^2)^4 }\) a następnie przyjąłem że:
\(\displaystyle{ (2z-2) = (\frac{3}{5} +\frac{4}{5}i)^2 }\) lub \(\displaystyle{ (2z-2) = (\frac{3}{5} +\frac{4}{5}i)^2 }\)
I wyznaczyłem z tego wartości z.

Czy jest to poprawny sposób rozwiązania zadania? Gdybym po lewej stronie miał po prostu z, spierwiastkowałbym lewą i prawą stronę, ale z lewej mam \(\displaystyle{ (2z -2) }\) i nie jestem pewien czy postępuję we właściwy sposób.

Dziękuję za pomoc.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równanie z liczbami zespolonymi

Post autor: Premislav »

Niedobrze (ściślej: nie do końca dobrze) przyjąłeś. Niekoniecznie jest tak, jak napisałeś, natomiast koniecznie skoro
\(\displaystyle{ (2z-2)^{4}=\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{8}}\), to istnieje taki pierwiastek czwartego stopnia z jedynki \(\displaystyle{ \kappa}\), że
\(\displaystyle{ 2z-2=\kappa \cdot \left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{2}}\). Pierwiastki n-tego stopnia z jedynki są postaci
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right), \ k=0,1\ldots n-1}\). Dla \(\displaystyle{ n=4}\) będą to więc kolejno:
\(\displaystyle{ \cos 0+i\sin 0=1, \ \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=i, \ \cos\pi+i\sin \pi=-1, \ \cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)=-i}\)
(oczywiście wiedząc, że \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\), można dużo prościej rozwiązać równanie w zespolonych \(\displaystyle{ z^{4}=1}\), ale uznałem, że bardziej się przyda zarysowanie ogólniejszej prawidłowości).

Czyli
\(\displaystyle{ 2z-2=\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{8}\vee 2z-2=i\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{8} \vee 2z-2=-\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{8} \vee 2z-2=-i\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{2}}\).
kwdrt4000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 lis 2019, o 18:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 11 razy

Re: Równanie z liczbami zespolonymi

Post autor: kwdrt4000 »

Mam jeszcze pytanie odnośnie zadania: gdybym teoretycznie oparł się na tym mniej ogólnym przypadku (skorzystał z \(\displaystyle{ i^2=−1 }\)) jak mógłbym rozwiązać to zadanie w ten prostszy sposób?

Przyznam szczerze że moment w którym pojawia się κ jako jedynka jest dla mnie średnio zrozumiały. Resztę rozwiązania rozumiem, jednak chciałbym zobaczyć ten prostszy sposób (przygotowuję się na kolokwium, a tam nie będę musiał aż tak szczegółowo rozpisywać takiego zadania gdyby się pojawiło).

Czy wszystkie potęgi w rozwiązaniach nie powinny być 2?

Jeszcze raz dziękuję za pomoc.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równanie z liczbami zespolonymi

Post autor: Premislav »

No to prościej można to zrobić na samych wzorach skróconego mnożenia i wiedząc, że \(\displaystyle{ i^{2}=-1:
\\ (2z-2)^{4}=\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{8}\\(2z-2)^{4}-\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{8}=0\\\left((2z-2)^{2}-\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{4}\right)\left((2z-2)^{2}+\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{4}\right)=0\\\left((2z-2)-\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{2}\right)\left((2z-2)+\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{2}\right)\left((2z-2)-i\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{2}\right)\left((2z-2)+i\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{2}\right)=0}\)
,
no a iloczyn (skończenie wielu) liczb zespolonych jest równy zero, gdy co najmniej jedna z nich jest równa zero.
Skorzystałem wielokrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Chodzi mi jednak o to, że podejście, o którym poprzednio pisałem, załatwiłoby sprawę też w równaniu
\(\displaystyle{ (2z-2)^{17}=\left(\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i\right)^{51}}\) i wielu innych, tzn. jest bardziej uniwersalne.
kwdrt4000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 lis 2019, o 18:16
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 11 razy

Re: Równanie z liczbami zespolonymi

Post autor: kwdrt4000 »

Dziękuję, o taki sposób mi chodziło. Jeśli spotkam się z przykładem bardziej skomplikowanym z pewnością skorzystam z pierwszego sposobu.
ODPOWIEDZ