Dzień dobry,
Rozwiązywałem zadanie związane z liczbami zespolonymi i w jednym z rozwiązań zapisanych z ćwiczeń spotkałem zależność:
\(\displaystyle{ \arg(\overline{z} +i) = \arg(\overline{z}) - \overline{i} = \arg(\overline{z-i}) }\)
Do tej pory rozumiem, ale potem nie wiem z czego wynika:
\(\displaystyle{ \arg(\overline{z-i}) = \pi + \arg(z - i) }\)
czy zastosowanie zamiast tego
\(\displaystyle{ \arg(\overline{z-i})=-\arg(z-i) }\)
jest błędne?
Treść zadania które rozwiązywałem:
Zilustruj zbiór na płaszczyźnie zespolonej: \(\displaystyle{ \{z \in \CC : \pi/6 \le \arg(\overline{z}+i) \le \pi\} }\)
Z góry dziękuję za pomoc.
Z czego wynika zależność (arg)?
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 8 lis 2019, o 18:16
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 11 razy
Z czego wynika zależność (arg)?
Ostatnio zmieniony 8 lis 2019, o 18:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Z czego wynika zależność (arg)?
\(\displaystyle{ \mathcal{Z} = \left \{ z \in \CC : \frac{\pi}{6} \leq \overline{z}+ i \leq \pi \right \} }\)
Jeśli
\(\displaystyle{ Arg(\overline{z} + i) \in \left[ \frac{\pi}{6} , \pi \right], }\)
to liczby \(\displaystyle{ z }\) spełniające powyższy warunek, muszą mieć część rzeczywistą dodatnią, zaś ich część urojona musi być dodatnia w przedziale \(\displaystyle{ \left [\frac{\pi}{6} , \frac{\pi}{2} \right) }\) i ujemna w przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{2}, \pi \right].}\)
Z definicji argumentu głównego liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \tg\left (\frac{\pi}{6} \right ) \leq \tg( Arg(\overline{z} + i)) = \frac{Im(\overline{z} +i)}{Re(\overline{z} + i)} \ \ (1) }\)
lub
\(\displaystyle{ \tg\left( Arg(\overline{z} + i)\right) = \frac{Im(\overline{z} +i)}{Re(\overline{z} + i)} \leq 0 \ \ (2) }\)
\(\displaystyle{ \overline{z} + i = x- iy +i = x +( 1- y)i \ \ (3) }\)
Z \(\displaystyle{ (3), \ \ (2), \ \ (1) }\)
\(\displaystyle{ \frac{1- y}{x} \geq \frac{\sqrt{3}}{3}, \ \ x >0, }\)
lub
\(\displaystyle{ \frac{1 -y}{x} \leq 0, \ \ x>0, }\)
\(\displaystyle{ y \leq -\frac{\sqrt{3}}{3}x +1, \ \ x>0 }\)
lub
\(\displaystyle{ y \geq 1, \ \ x>0. }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{Z} = \left\{ z = x+iy \in \CC :\ \ x> 0 , \ \ y \leq -\frac{\sqrt{3}}{3}x +1 \right\} \cup \left\{ z = x+iy \in \CC: x >0, \ \ y\geq 1\right\}.}\)
Proszę narysować na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \CC }\) zbiór \(\displaystyle{ \mathcal{Z}. }\)
Dodano po 1 godzinie 24 minutach 42 sekundach:
Korekta
Jest
" to liczby \(\displaystyle{ z }\) spełniające powyższy warunek ..."
Powinno być
" to liczby \(\displaystyle{ \overline{z} + i }\) spełniające powyższy warunek..."
Jest
"ich część urojona musi być ujemna w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right). }\)
Powinno być
"ich część urojona musi być niedodatnia w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right). }\)
Jeśli
\(\displaystyle{ Arg(\overline{z} + i) \in \left[ \frac{\pi}{6} , \pi \right], }\)
to liczby \(\displaystyle{ z }\) spełniające powyższy warunek, muszą mieć część rzeczywistą dodatnią, zaś ich część urojona musi być dodatnia w przedziale \(\displaystyle{ \left [\frac{\pi}{6} , \frac{\pi}{2} \right) }\) i ujemna w przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{2}, \pi \right].}\)
Z definicji argumentu głównego liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \tg\left (\frac{\pi}{6} \right ) \leq \tg( Arg(\overline{z} + i)) = \frac{Im(\overline{z} +i)}{Re(\overline{z} + i)} \ \ (1) }\)
lub
\(\displaystyle{ \tg\left( Arg(\overline{z} + i)\right) = \frac{Im(\overline{z} +i)}{Re(\overline{z} + i)} \leq 0 \ \ (2) }\)
\(\displaystyle{ \overline{z} + i = x- iy +i = x +( 1- y)i \ \ (3) }\)
Z \(\displaystyle{ (3), \ \ (2), \ \ (1) }\)
\(\displaystyle{ \frac{1- y}{x} \geq \frac{\sqrt{3}}{3}, \ \ x >0, }\)
lub
\(\displaystyle{ \frac{1 -y}{x} \leq 0, \ \ x>0, }\)
\(\displaystyle{ y \leq -\frac{\sqrt{3}}{3}x +1, \ \ x>0 }\)
lub
\(\displaystyle{ y \geq 1, \ \ x>0. }\)
\(\displaystyle{ \mathcal{Z} = \left\{ z = x+iy \in \CC :\ \ x> 0 , \ \ y \leq -\frac{\sqrt{3}}{3}x +1 \right\} \cup \left\{ z = x+iy \in \CC: x >0, \ \ y\geq 1\right\}.}\)
Proszę narysować na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \CC }\) zbiór \(\displaystyle{ \mathcal{Z}. }\)
Dodano po 1 godzinie 24 minutach 42 sekundach:
Korekta
Jest
" to liczby \(\displaystyle{ z }\) spełniające powyższy warunek ..."
Powinno być
" to liczby \(\displaystyle{ \overline{z} + i }\) spełniające powyższy warunek..."
Jest
"ich część urojona musi być ujemna w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right). }\)
Powinno być
"ich część urojona musi być niedodatnia w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right). }\)