Pokazać, że dla liczb zespolonych z, w zachodzi
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 6 lis 2019, o 01:26
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 1 raz
Pokazać, że dla liczb zespolonych z, w zachodzi
\(\displaystyle{ \left( \left| \overline{z}\right|- \left| \overline{w}\right| \right) ^{2} \le \left(\overline{z + w}\right) \left( z + w\right) }\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Pokazać, że dla liczb zespolonych z, w zachodzi
Prawa upraszcza się do \(\displaystyle{ |z+w|^2}\) a więc do pokazania jest:
\(\displaystyle{ \left( |z|-|w|\right)^2 \le |z+w|^2 }\)
Zauważmy jednak, że równoważnie mamy
\(\displaystyle{ \left| |z|-|w|\right| \le |z+w|}\)
a to jest znane szacowanie by zauważyć to jeszcze lepiej można bez straty ogólności zmianą \(\displaystyle{ w}\) zastąpić przez \(\displaystyle{ -w}\) co dało by:
\(\displaystyle{ \left| |z|-|w|\right| \le |z-w|}\)
wszak
\(\displaystyle{ \left| z\right|=\left| z-w+w\right| \le \left| z-w\right|+\left| w\right| \ \Rightarrow \ \left| z\right|-\left| w\right| \le \left| z-w\right| }\)
więc i \(\displaystyle{ \left| |z|-|w|\right| \le |z-w|}\) bo gdy \(\displaystyle{ |z|-|w|<0}\) to nierówność jest oczywista.
\(\displaystyle{ \left( |z|-|w|\right)^2 \le |z+w|^2 }\)
Zauważmy jednak, że równoważnie mamy
\(\displaystyle{ \left| |z|-|w|\right| \le |z+w|}\)
a to jest znane szacowanie
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality#Reverse_triangle_inequality
\(\displaystyle{ \left| |z|-|w|\right| \le |z-w|}\)
wszak
\(\displaystyle{ \left| z\right|=\left| z-w+w\right| \le \left| z-w\right|+\left| w\right| \ \Rightarrow \ \left| z\right|-\left| w\right| \le \left| z-w\right| }\)
więc i \(\displaystyle{ \left| |z|-|w|\right| \le |z-w|}\) bo gdy \(\displaystyle{ |z|-|w|<0}\) to nierówność jest oczywista.
Ostatnio zmieniony 6 lis 2019, o 10:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.