Pokazać, że dla liczb zespolonych z, w zachodzi

[guildos]

\(\displaystyle{ \left( \left| \overline{z}\right|- \left| \overline{w}\right| \right) ^{2} \le \left(\overline{z + w}\right) \left( z + w\right) }\)

[Janusz Tracz]

Prawa upraszcza się do \(\displaystyle{ |z+w|^2}\) a więc do pokazania jest:

\(\displaystyle{ \left( |z|-|w|\right)^2 \le |z+w|^2 }\)

Zauważmy jednak, że równoważnie mamy

\(\displaystyle{ \left| |z|-|w|\right| \le |z+w|}\)

a to jest znane szacowanie

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_inequality#Reverse_triangle_inequality

by zauważyć to jeszcze lepiej można bez straty ogólności zmianą \(\displaystyle{ w}\) zastąpić przez \(\displaystyle{ -w}\) co dało by:

\(\displaystyle{ \left| |z|-|w|\right| \le |z-w|}\)

wszak

\(\displaystyle{ \left| z\right|=\left| z-w+w\right| \le \left| z-w\right|+\left| w\right| \ \Rightarrow \ \left| z\right|-\left| w\right| \le \left| z-w\right| }\)

więc i \(\displaystyle{ \left| |z|-|w|\right| \le |z-w|}\) bo gdy \(\displaystyle{ |z|-|w|<0}\) to nierówność jest oczywista.