wielomian 3 stopnia

[kieubass]

Witajcie Mam problem z poniższym równaniem:

\(\displaystyle{ z^3 + 9z +6 = 0}\)

Niestety twierdzenie o pierwiastkach wymiernych nic nie podpowiedziało... Nie wiem jak się za to zabrać

[a4karo]

No to zostają Ci wzory Cardano albo wolfram alpha

[kieubass]

Spróbowałem wzorami Cardano, wychodza dziwne rzeczy... Nigdy nie mialem ich na studiach, a kolega, ktory poprosił o pomoc też ich nie miał, bo pytałem a jak sie za to zabrać? Bo pewnie cos zle robię... Wolfram nie pomaga, nie mam wersji premium

[Psiaczek]

pokażę wariant rozwiązywania który jest preferowany przez długoletniego użytkownika tego forum o nicku mariuszm

podstawiamy \(\displaystyle{ z=u+v}\)

wtedy mamy \(\displaystyle{ z^3=(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3=3uv(u+v)+(u^3+v^3)=3uvz+(u^3+v^3)}\)

przenosząc na jedną stronę otrzymujemy \(\displaystyle{ z^3-3uvz-(u^3+v^3)=0}\)

porównując to z wyjściowym równaniem \(\displaystyle{ z^3+9z+6=0}\) mamy układ równań do rozwiązania:

\(\displaystyle{ -3uv=9,-(u^3+v^3)=6}\) , jeśli go rozwiążemy , to \(\displaystyle{ u+v}\) będzie pierwiastkiem wyjściowego równania

i chodzi o to że tutaj dość łatwo zgadnąć jedno z rozwiązań układu : \(\displaystyle{ u= \sqrt[3]{3},v= -\sqrt[3]{9} }\)

czyli jednym z rozwiązań równania \(\displaystyle{ z^3+9z+6=0}\) jest liczba rzeczywista \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}}\)

a dalej to są zabawy z pierwiastkami trzeciego stopnia z jedności, które można znaleźć na wikipedii i w innych miejscach, więc sobie daruję

[kieubass]

Dokładnie to samo mi wyszło... Ale właśnie chodzi o to, że ta osoba nie miała wzorów Cardano jest jakiś inny sposób na to?