Wyznaczanie pierwiastków wielomianu

[mouflouxx]

Witam, mam problem z zaczęciem poniższego zadania:
Wyznaczyć pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ V(x)= x^{4} - 8 x^{3} + 20 x - 72 x + 99 }\) , jeśli jednym z nich jest liczba czysto urojona.

[Premislav]

Jeżeli liczba zespolona nierzeczywista jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to liczba do niej sprzężona też jest pierwiastkiem tegoż wielomianu. Skoro pierwiastek \(\displaystyle{ V(x)}\) jest liczbą czysto urojoną, to jest postaci \(\displaystyle{ ai}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a\in \RR\setminus \left\{0\right\}}\), a liczba do niego sprzężona jest wówczas równa \(\displaystyle{ -ai}\). Czyli mamy z tw. Bezouta
\(\displaystyle{ V(x)=(x-ai)(x+ai)(bx^{2}+cx+d)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ b,c,d\in \CC}\). Czyli (wzór na różnicę kwadratów):
\(\displaystyle{ V(x)=\left(x^{2}+a^{2}\right)\left(bx^{2}+cx+d\right)}\)
Pozostałe współczynniki znajdziesz wymnażając i tworząc układ równań (np. od razu widać, że jest \(\displaystyle{ b=1}\)).

[a4karo]

Wsk: jeżeli \(\alpha i\) jest tym pierwiastkiem, to \(-\alpha i\) też i wielomian dzieli się bez reszty przez \(x^2+\alpha^2\)