Równanie zespolone

[invitoo]

Witam wszystkich, mam oto taki mały problem z równaniem

\(\displaystyle{ i \cdot \overline{z} \cdot z^3=|z|}\)

Czy to możliwe aby w tym równaniu wyszło mi 7 pierwiastków? Jeżeli nie to jak zabrać się do równań tego typu?

[kerajs]

Robiłbym tak:
\(\displaystyle{ e^{i \frac{ \pi }{2} }re^{i(- \alpha )}r^3e^{i(3\alpha )}=r\\
r^4e^{i ( 2 \alpha +\frac{ \pi }{2} )}=r\\
\begin{cases} r=0 \\ \alpha \in \RR \end{cases} \vee \begin{cases} r=1 \\ 2\alpha + \frac{ \pi }{2} =k2 \pi \end{cases}}\)

[invitoo]

Dzięki, wyszło zgodnie z wolframem. Mógłby ktoś wyjaśnić mi jeszcze dlaczego po skorzystaniu z własności
\(\displaystyle{ z \cdot {\overline{z}}=|z^2|}\)
i zapisaniu równania w postaci
\(\displaystyle{ i \cdot z^4=z}\) przy założeniu \(\displaystyle{ z>0}\) a potem
\(\displaystyle{ i \cdot z^4=-z}\) przy założeniu \(\displaystyle{ z<0}\)
nie wychodziły mi poprawne wyniki?

[Janusz Tracz]

A co to znaczy \(\displaystyle{ z>0}\) w kontekście liczy zespolonej?

[invitoo]

Rozumiem, w takim razie jak należałoby rozpisać to równanie, żeby znaleźć liczbę \(\displaystyle{ z}\) bez używania postaci wykładniczej?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ i\overline{z}z^3=|z|\\ i|z|^2z^2=|z|\\ |z|-i|z|^2z^2=0\\ |z|(1-i|z|z^2)=0}\)

zatem \(\displaystyle{ |z|=0}\) czyli \(\displaystyle{ z=0}\) lub \(\displaystyle{ i|z|z^2=1}\). Widać, że jeśli \(\displaystyle{ i|z|z^2=1}\) to \(\displaystyle{ |z|=1}\) czyli \(\displaystyle{ iz^2=1}\) a zatem \(\displaystyle{ z^2=-i}\). Zadanie sprowadziło się więc do wyznaczenia pierwiastka z \(\displaystyle{ -i}\). Można to zrobić np za pomocą wzoru de Moivre'a.