Witam wszystkich, mam oto taki mały problem z równaniem
\(\displaystyle{ i \cdot \overline{z} \cdot z^3=|z|}\)
Czy to możliwe aby w tym równaniu wyszło mi 7 pierwiastków? Jeżeli nie to jak zabrać się do równań tego typu?
Równanie zespolone
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Równanie zespolone
Robiłbym tak:
\(\displaystyle{ e^{i \frac{ \pi }{2} }re^{i(- \alpha )}r^3e^{i(3\alpha )}=r\\
r^4e^{i ( 2 \alpha +\frac{ \pi }{2} )}=r\\
\begin{cases} r=0 \\ \alpha \in \RR \end{cases} \vee \begin{cases} r=1 \\ 2\alpha + \frac{ \pi }{2} =k2 \pi \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ e^{i \frac{ \pi }{2} }re^{i(- \alpha )}r^3e^{i(3\alpha )}=r\\
r^4e^{i ( 2 \alpha +\frac{ \pi }{2} )}=r\\
\begin{cases} r=0 \\ \alpha \in \RR \end{cases} \vee \begin{cases} r=1 \\ 2\alpha + \frac{ \pi }{2} =k2 \pi \end{cases}}\)
Re: Równanie zespolone
Dzięki, wyszło zgodnie z wolframem. Mógłby ktoś wyjaśnić mi jeszcze dlaczego po skorzystaniu z własności
\(\displaystyle{ z \cdot {\overline{z}}=|z^2|}\)
i zapisaniu równania w postaci
\(\displaystyle{ i \cdot z^4=z}\) przy założeniu \(\displaystyle{ z>0}\) a potem
\(\displaystyle{ i \cdot z^4=-z}\) przy założeniu \(\displaystyle{ z<0}\)
nie wychodziły mi poprawne wyniki?
\(\displaystyle{ z \cdot {\overline{z}}=|z^2|}\)
i zapisaniu równania w postaci
\(\displaystyle{ i \cdot z^4=z}\) przy założeniu \(\displaystyle{ z>0}\) a potem
\(\displaystyle{ i \cdot z^4=-z}\) przy założeniu \(\displaystyle{ z<0}\)
nie wychodziły mi poprawne wyniki?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Równanie zespolone
Rozumiem, w takim razie jak należałoby rozpisać to równanie, żeby znaleźć liczbę \(\displaystyle{ z}\) bez używania postaci wykładniczej?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Równanie zespolone
\(\displaystyle{ i\overline{z}z^3=|z|\\ i|z|^2z^2=|z|\\ |z|-i|z|^2z^2=0\\ |z|(1-i|z|z^2)=0}\)
zatem \(\displaystyle{ |z|=0}\) czyli \(\displaystyle{ z=0}\) lub \(\displaystyle{ i|z|z^2=1}\). Widać, że jeśli \(\displaystyle{ i|z|z^2=1}\) to \(\displaystyle{ |z|=1}\) czyli \(\displaystyle{ iz^2=1}\) a zatem \(\displaystyle{ z^2=-i}\). Zadanie sprowadziło się więc do wyznaczenia pierwiastka z \(\displaystyle{ -i}\). Można to zrobić np za pomocą wzoru de Moivre'a.
zatem \(\displaystyle{ |z|=0}\) czyli \(\displaystyle{ z=0}\) lub \(\displaystyle{ i|z|z^2=1}\). Widać, że jeśli \(\displaystyle{ i|z|z^2=1}\) to \(\displaystyle{ |z|=1}\) czyli \(\displaystyle{ iz^2=1}\) a zatem \(\displaystyle{ z^2=-i}\). Zadanie sprowadziło się więc do wyznaczenia pierwiastka z \(\displaystyle{ -i}\). Można to zrobić np za pomocą wzoru de Moivre'a.