\(\displaystyle{ (z-i) ^{4}=(z+1) ^{4}}\)
nie mam pojęcia jak się do tego zabrać, da się obejść niż wypisywać wzorem de Moivre'a?
W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie:
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie:
Można z samych wzorów skróconego mnożenia, dokładnie ze wzoru na różnicę kwadratów:
\(\displaystyle{ (z+1)^{4}-(z-i)^{4}=0\\\left((z+1)^{2}-(z-i)^{2}\right)\left((z+1)^{2}+(z-i)^{2}\right)=0\\\left((z+1)-(z-i)\right)\left((z+1)+(z-i)\right)\left((z+1)+i(z-i)\right)\left((z+1)-i(z-i)\right)=0\\(i+1)\left(2z-(i-1)\right)\left(z(1+i)+2\right)\left(z(1-i)\right)=0\\z=\frac{i-1}{2}\vee z=-\frac{2}{1+i}\vee z=0\\z=\frac{i-1}{2}\vee z=-1+i\vee z=0}\)
\(\displaystyle{ (z+1)^{4}-(z-i)^{4}=0\\\left((z+1)^{2}-(z-i)^{2}\right)\left((z+1)^{2}+(z-i)^{2}\right)=0\\\left((z+1)-(z-i)\right)\left((z+1)+(z-i)\right)\left((z+1)+i(z-i)\right)\left((z+1)-i(z-i)\right)=0\\(i+1)\left(2z-(i-1)\right)\left(z(1+i)+2\right)\left(z(1-i)\right)=0\\z=\frac{i-1}{2}\vee z=-\frac{2}{1+i}\vee z=0\\z=\frac{i-1}{2}\vee z=-1+i\vee z=0}\)