Przedstawienie liczby zespolonej w postaci algebraicznej

[Matmak23]

Mam do rozwiązania przykład:

\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^5 }{(1-i)^3}}\)

i nie zgadza mi się mój wynik z wynikiem otrzymanym na ćwiczeniach

Rozwiązanie na ćwiczeniach:
\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^5 }{(1-i)^3}=\frac{(1-i)^5 }{(1-i)^3}\cdot \frac{(1-i)^5 }{(1-i)^5}=\frac{(1-i^2)^5 }{(1-i)^8}= \frac{2^5 }{((1-i)^2)^4}=\frac{2^5 }{(1-2i+i^2)^4}=\frac{2^5 }{(-2i)^4}=\frac{2^5 }{(-2)^4 \cdot i^4}=\frac{2^5 }{2^4}=2}\)

Moje rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \frac{(1+i)^5 }{(1-i)^3}=\frac{(1+i)^2\cdot(1+i)^2\cdot(1+i) }{(1-i)^2\cdot(1-i)}=\frac{4i^2(1+i) }{-2i(1-i)}= \frac{-4+4i }{-2i-2}=\frac{-2+2i }{-i-1}\cdot\frac{-i+1}{-i+1}=\frac{2i-2-2i^2+2i }{(-i)^2-1}=\frac{4i }{-1-1}=\frac{4i }{-2}=-2i}\)


Zakładam, że na ćw przykład jest rozwiązany dobrze, a u siebie nie mogę znaleźć błędu.

Przy okazji mam pytanie

Jeśli \(\displaystyle{ i^2=-1}\)
to
\(\displaystyle{ (-i)^2=}\) 1 czy -1?

[Premislav]

Błędna jest u Ciebie równość
\(\displaystyle{ \frac{4i^{2}(1+i)}{-2i(1-i)}=\frac{-4+4i}{-2i(1-i)}}\).
Powinno być:
\(\displaystyle{ \frac{4i^{2}(1+i)}{-2i(1-i)}=\frac{-4\red{-}4i}{-2i(1-i)}}\),
dalej nie sprawdzałem.

Oczywiście \(\displaystyle{ (-i)^{2}=-1}\).