Uprość wyrażenie, a następnie przestawić je w postaci algebraicznej i wykładniczej

[tizke]

Uprość wyrażenie, a następnie przestawić je w postaci algebraicznej i wykładniczej: \(\displaystyle{ 3e^{i \frac{ \pi }{3} }+4e^{-i \frac{ \pi }{6} } }\)
Chciałbym się spytać, czy zostało to prawidłowo wykonane i czy istnieją jakieś prostsze metody.
\(\displaystyle{ Z _{1} = 3e^{i \frac{ \pi }{3} } }\)
\(\displaystyle{ Z _{1}=3(\cos \frac{ \pi }{3}+i\sin \frac{ \pi }{3}) }\)
\(\displaystyle{ Z _{1}=3( \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt[]{3} }{2}i) }\)
\(\displaystyle{ Z _{1}=3( 0,5 + \frac{1,732050807}{2}i ) }\)
\(\displaystyle{ Z _{1}=3(0,5+0,8660254035i) }\)
\(\displaystyle{ Z _{1}=1,5+2,598i }\)
\(\displaystyle{ \left| Z _{1} \right| = \sqrt{(1,5)^{2}+(2,598) ^{2} } = \sqrt{2,25+6,75} = \sqrt{9}=3 }\)

\(\displaystyle{ Z _{2} = 4e^{-i \frac{ \pi }{6} } }\)
\(\displaystyle{ Z _{2}=4(-\cos \frac{ \pi }{6}-i\sin \frac{ \pi }{6}) }\)
\(\displaystyle{ Z _{2}=4( -\frac{ \sqrt[]{3} }{2} - \frac{1}{2} i) }\)
\(\displaystyle{ Z _{2}=4(-\frac{1,732050807}{2}-0,5i) }\)
\(\displaystyle{ Z _{2}=4( -0,8660254035 - 0,5i ) }\)
\(\displaystyle{ Z _{2}=-3,464101614-2i }\)
\(\displaystyle{ \left| Z_{2} \right| = \sqrt{(3,464101614)^{2}+2^{2} } = \sqrt{12+4} = \sqrt{16} = 4 }\)

\(\displaystyle{ Z _{1}+Z _{2}= (1,5+2,598i)+(-3,464101614-2i)= -1,964101614‬ + 0,598i }\)

Przystępuję do dalszej części:

\(\displaystyle{ \left| Z _{1+2} \right| = \sqrt{(-1,964101614‬)^{2}+(0,598)^{2} } = \sqrt{3.857695150117404996‬+0,357604} = \sqrt{4,215} = 2,05 }\)

\(\displaystyle{ \cos\alpha= \frac{a}{\left| Z _{1+2} \right|} = \frac{-1,964101614}{2,05} = -0,958 }\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha= \frac{a}{\left| Z _{1+2} \right|} = \frac{0,598}{2,05} = 0,292 }\)

Punkt jest w II ćwiartce
\(\displaystyle{ \sin \alpha=\sin(90^{°}+ \beta)}\)
\(\displaystyle{ \sin(x+y)=\sin x \cdot \cos y+\cos x \cdot \sin y}\)
\(\displaystyle{ \sin(90^{°}+ \beta)=\sin90^{°} \cdot \cos\beta+\cos90^{°} \cdot \sin \beta }\)
\(\displaystyle{ \sin(90^{°}+ \beta)=\cos\beta }\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha=\cos\beta }\)
\(\displaystyle{ \cos\beta= 0,292 }\)
\(\displaystyle{ \beta=73^{°} 6^{'} }\)

\(\displaystyle{ \left| Z _{1+2} \right|= -1,964101614‬ + 0,598i}\)
\(\displaystyle{ \left| Z _{1+2} \right|= 2,05e ^{i73^{°} 6^{'} } }\)

[Jan Kraszewski]

Obliczenia przybliżone to nie jest dobry pomysł.

JK

[tizke]

Właśnie o to się martwię, że nie są na tyle precyzyjne na ile powinny być. Chciałbym to zrobić jeszcze w radianach, ale nie wiem od której strony podejść.

[Jan Kraszewski]

Po pierwsze, w ogóle nie powinieneś przybliżać.
Po drugie, masz źle wyznaczone \(\displaystyle{ Z_2.}\) Powinno być

\(\displaystyle{ Z _{2}=4\left( \cos \frac{- \pi }{6}+i\sin \frac{ -\pi }{6}\right) =4\left( \cos \frac{\pi }{6}-i\sin \frac{ \pi }{6}\right) }\)

czyli

\(\displaystyle{ Z _{1}=\frac{3}{2} + \frac{ 3\sqrt[]{3} }{2}i \\
Z _{2}= 2\sqrt[]{3} - 2 i.}\)

Stąd od razu mamy

\(\displaystyle{ Z=Z_1+Z_2=\left( \frac{3}{2} +2\sqrt[]{3}\right) + \left(\frac{ 3\sqrt[]{3} }{2} - 2\right)i. }\)

Liczymy moduł:

\(\displaystyle{ |Z|= \sqrt{\left( \frac{3}{2} +2\sqrt[]{3}\right)^2+\left(\frac{ 3\sqrt[]{3} }{2} - 2\right)^2 }=...=5. }\)

I dopiero przy postaci wykładniczej nie otrzymasz "ładnego" wyniku, bo \(\displaystyle{ Z=5e^{i\varphi}}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi=\frac{\pi}{3}-\arcsin\frac45.}\)

JK

[janusz47]

\(\displaystyle{ w = 3e^{i\frac{\pi}{3}} + 4e^{-i\frac{\pi}{6}} = 3e^{i\frac{\pi}{3}} + \frac{4}{e^{i\frac{\pi}{6}}} = \frac{3e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)}+4}{e^{i\frac{\pi}{6}}} = \frac{3e^{i\frac{\pi}{2}} +4}{e^{i\frac{\pi}{6}}} = \frac{3i +4}{e^{i\frac{\pi}{6}}} = \frac{3i + 4}{ \frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{1}{2}i} = \frac{2(4 +3i)}{\sqrt{3} +i} = ...}\)

[Jan Kraszewski]

janusz47, ale w czym to ma pomóc/uprościć?

JK

[janusz47]

Dochodzimy do tej samej postaci algebraicznej wyrażenia

\(\displaystyle{ w = \left (2\sqrt{3} +\frac{3}{2}\right) + i\left(\frac{3}{2}\sqrt{3}-2\right) }\)

[Jan Kraszewski]

OK, ale chyba jednak dłuższą drogą...

JK

[a4karo]

Aby uprościć obliczenia wystarczy zauważyć, że trójkąt o wierzchołkach \(0, Z_1, Z_2\) jest prostokątny i ma boki \(3,4,5\), Zatem moduł szukanej sumy jest równy \(5\). Argument zaś, to \(\alpha-\pi/6\), gdzie \(\alpha\) jest kątem ostrym w tym trójkącie. (polecam zrobienie rysunku)

Dodano po 14 minutach 32 sekundach:
A jeżeli już koniecznie liczbami zespolonymi, to
\begin{align}
3e^{i \frac{ \pi }{3} }+4e^{-i \frac{ \pi }{6} } &=e^{\frac{i \pi }{6} }(3e^{i \frac{ \pi }{3} }+4e^{-i \frac{ \pi }{6} } )e^{-i \frac{ \pi }{6} }\\
&=(4+3i)e^{-i \frac{ \pi }{6} }=5(\cos\alpha+i\sin\alpha)e^{-i \frac{ \pi }{6} }\\
&=5\left(\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)\right)\\&=5e^{i\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)},
\end{align}
gdzie \(\alpha=\arccos\frac45\).