Równania zespolone

[tomek1413]

Witam staram się przygotować trochę przed studiami i uczę się liczb zespolonych.
Najpierw chciałbym się zapytać, czy te równania są wykonane dobrze:
1.
\(\displaystyle{ \left| Z\right|-9= \overline{z}-3i \\
a ^{2} + b^{2} -9=a-bi-3i\\
a ^{2} + b^{2} -9=a\\
-b-3=0\\
b=-3\\
a^{2}+9-9=a \\
a ^{2}-a=0\\
a=0 \vee a=1}\)

2.
\(\displaystyle{ 2z+\overline{z}+3i=-9+i\left| z\right| \\
2a+2bi+a-bi+3i=-9+i \sqrt{a^{2}+b^{2}} \\
3a+bi+3i=-9+i \sqrt{a^{2}+b^{2}} \\
3a=-9\\
a=-3}\)
\(\displaystyle{ b+3=\sqrt{9+b^{2}}/^{2}}\) Wydaje mi się, że tu może być błąd przy podnoszeniu do kwadratu, bo wiem że tylko prawa strona jest dodatnia? Ale jest to równanie,a nie nierówność to powinno być dobrze.
\(\displaystyle{ b^{2}+6b+9=9+b^2\\
b=0}\)

3.
\(\displaystyle{ \frac{z}{\overline{z}} =z+2\\
\frac{a+bi}{a-bi}=a+bi+2 \\
a+bi=a^{2}-abi+abi+b^{2}+2a-2bi\\
a=a^2+b^2+2a\\
b=2b\\
b=0}\)

\(\displaystyle{ a=a^{2}+b^{2}+2a\\
-a^{2}-a=a\\
-a(a+1)=0\\
a=0 \vee a=-1}\)

4.
\(\displaystyle{ \frac{\overline{z}}{z}+i=0 \\
\frac{a-bi}{a+bi}+i=0/\cdot a+bi \\
a-bi+ai-b=0\\
a-b=0 \vee a-b=0}\)
Nieskonczenie wiele rozwiązań?

[Belf]

Zad.1 Druga linijka: \(\displaystyle{ |z|= \sqrt{a^2 + b^2} }\)

[Belf]

Zad. 3 i 4. Brak założeń odnośnie mianownika.

[a4karo]

4. Prawie dobrze, choć w ostatniej linii powinno być raczej "i" niż "lub".
Rozwiązań jest nieskończenie wiele, ale masz ich za dużo. Zastanów się dlaczego.

[a4karo]

W 3 też masz za dużo rozwiązań

[Belf]

Zad. 2. Niech Ci się nic nie wydaje,tylko zrób załozenie: \(\displaystyle{ b+3 \ge 0}\)

[tomek1413]

Dziękuje za pomoc z powyższymi przykładami. Nie chce robić nowego tematu, teraz zastanawiam się nad takim przykładem:
Mam narysować na płaszczyźnie Gaussa \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} \le \arg(z-i) \le \frac{3 \pi }{4} }\)

Używając

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Argument_liczby_zespolonej

Robię coś takiego:
\(\displaystyle{ \arg(a+i(b-1))\text{ dla a>0} = \arctg\left(\frac{b-1}{a}\right) \\
\frac{b-1}{a} \ge 1 \wedge \frac{b-1}{a} \le -1 }\)

i tu wychodzi brak części wspólnej?
I mam wątpliwości co do tej \(\displaystyle{ -1}\), bo \(\displaystyle{ \arctg}\) ma wartości od \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{2} do \frac{ \pi }{2} }\)
No i juz się troche pogubiłem, czy dobrze się za to zabieram?

[Jan Kraszewski]

Nie wczytuję się w to, co robisz, ale taki zapis

Robię coś takiego:
\(\displaystyle{ \arg(a+i(b-1))\text{ dla a>0} = \arctg\left(\frac{b-1}{a}\right)}\)

wygląda strasznie.

JK

[tomek1413]

Okej postaram się to trochę poprawić.
\(\displaystyle{ \arg(z-i)=\arg(a+bi-i)=\arg(a+i(b-1))}\)

\(\displaystyle{ \alpha =\arctg( \frac{b-1}{a}) }\)

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} \le \arctg \left( \frac{b-1}{a}\right) \le \frac{3 \pi }{4}\\
\tg\left( \frac{ \pi }{4}\right) \le \tg \left( \arctg\left( \frac{b-1}{a}\right)\right) \le \tg \frac{3 \pi }{4} \\
1 \le \frac{b-1}{a} \le -1 }\)

No i tu wychodzi dziwna rzecz, ale na pewno tak nie powinno być, bo \(\displaystyle{ \alpha =\arctg \frac{b}{a} }\) jest odpowiedni dla \(\displaystyle{ a>0}\),
a z drugiej strony, żeby osiągnąć kąt \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{4} }\) \(\displaystyle{ a }\) musiało by być \(\displaystyle{ a<0 }\) prawda?

Myślałem, żeby to rozłożyć tak:
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} \le \arctg\left( \frac{b-1}{a}\right) \le \frac{ \pi }{2}}\)
I potem drugi przypadek dla \(\displaystyle{ a< 0}\)
Ale już się troche gubię w myślach i nie wiem czy to w ogóle rozumiem.

[janusz47]

Tomku1413

Zbiór tych liczb zespolonych na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \CC }\) dla których:

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} \leq (z - i) \leq \frac{3}{4}\pi \ \ (1) }\)

powstaje z przesunięcia o wektor \(\displaystyle{ [ 0, i ] }\) zbioru \(\displaystyle{ \left\{ w\in \CC: \frac{1}{4}\pi \leq Arg (w) \leq \frac{3}{4}\pi \right\} }\)

Rysujemy kółko otwarte w punkcie \(\displaystyle{ z_{0} = i. }\) Z punktu tego wyprowadzamy linią ciągłą dwie tworzące stożka. Jedną pod kątem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} }\) względem osi \(\displaystyle{ \mathcal{Re}, }\) drugą pod kątem \(\displaystyle{ \frac{3}{4}\pi }\) względem tej osi.

Zbiór punktów płaszczyzny Gaussa, zawartych między tymi tworzącymi i na tych tworzących, bez ich punktu wspólnego przecięcia, czyli wierzchołka tego nieskończonego stożka, spełnia nierówność \(\displaystyle{ (1).}\)