Zbiór A zlożony z liczb zespolonych
: 10 paź 2007, o 22:37
jak naszkicować zbiór A złożony z tych liczb zespolonych z dla których liczba \(\displaystyle{ w=\frac{z+3}{z-4j}}\) jest czysto urojona
Niech \(\displaystyle{ z=a+ib, \ z \ne 4i}\). Liczymy w:
\(\displaystyle{ \frac{z+3}{z-4i}=\frac{(a+3)+ib}{a+i(b-4)}=\frac{[(a+3)+ib]\cdot[a-i(b-4)]}{[a+i(b-4)]\cdot[a-i(b-4)]}
=\\=\frac{(a^2+3a+b^2-4b)+i(ab-(a+3)(b-4))}{a^2+(b-4)^2}}\)
Cześć rzeczywista ma być równa 0, więc:
\(\displaystyle{ a^2+3a+b^2-4b=0 \\
(a+1,5)^2+(b-2)^2=2,5^2}\)
A więc rozwiązaniem jest okrąg o środku w punkcie (-1,5;2) i promieniu 2,5. Oczywiście najpierw trzeba sprawdzić, że na tym okręgu część urojona jest różna od zera - to pozostawiam Tobie (przyrównaj część urojoną do zera i sprawdź, czy otrzymane a i b należą do danego okręgu).