Okrąg i prosta w inwersji na płaszczyźnie zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Mil233
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 10 sie 2019, o 17:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Okrąg i prosta w inwersji na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: Mil233 »

Witam wszystkich

Pierwsze pytanie:
Szukam na płaszczyźnie zespolonej obrazu okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ 4+0i}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\) w inwersji względem okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ 1+0i}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2.}\) Zabrałam się do tego w następujący sposób:
\(\displaystyle{ z,w\in\mathbb{C}}\)
\(\displaystyle{ |\overline{z}-4|=1}\) - równanie okręgu, którego obrazu szukam
\(\displaystyle{ f(z)=\frac{r^2}{\overline{z-z_0}} \\ \\ \frac{4}{\overline{z-1}}=w \\ \\ \frac{4}{w}=\overline{z}-1 \\ \\ \frac{4}{w}-3=\overline{z}-4 \\ \\ \frac{|4-3w|}{|w|}=1 \\ \\ |w|=|4-3w|, \ \ \ \ \ w=a+bi \\ \\ a^2+b^2=(4-3a)^2+9b^2 \\ \\ a^2+b^2-3a+2=0 \\ \\ \left(a-\frac{3}{2}\right)^2+b^2=\frac{1}{4}}\)
Czyli otrzymałam okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ \frac{3}{2}+0i}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a powinnam otrzymać okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ \frac{5}{2}+0i}\) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Gdzie jest błąd? Już trochę nad tym siedzę i nie mogę go znaleźć. Proszę o pomoc.

Drugie pytanie:
Tym razem trzeba znaleźć na płaszczyźnie zespolonej obraz prostej \(\displaystyle{ Re \ z=4}\) w inwersji względem okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ 0+0i}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\). Tutaj nie wiem kompletnie jak się za to zabrać, więc proszę o wskazówkę. Próbowałam korzystając z tego, że \(\displaystyle{ Re \ z =\frac{1}{2}\left(\overline{z}+z\right)}\), ale nic mi z tego nie wyszło.

Z góry bardzo dziękuję i pozdrawiam
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Okrąg i prosta w inwersji na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: janusz47 »

Zadanie 1 rozwiązane bezbłędne. Błąd w odpowiedzi.

Zadanie 2

Wskazówka:

\(\displaystyle{ w = \frac{1}{z}}\)

\(\displaystyle{ u +iv = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2 +y^2}}\)

\(\displaystyle{ u = \frac{x}{x^2+y^2}, \ \ v = - \frac{y}{x^2+y^2}.}\)
Mil233
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 10 sie 2019, o 17:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Okrąg i prosta w inwersji na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: Mil233 »

Dziękuję, zadanie drugie zrobiłam, wskazówka pomogła

Co do zadania pierwszego coś nie gra, ja do tego nie mam podanej odpowiedzi. Chodzi o to, że narysowałam to w GeoGebrze i wychodzi inny okrąg niż ten, który wychodzi z obliczeń, czy to robię konstrukcyjnie, czy korzystając z gotowej funkcji GeoGebry, która wyznacza obraz figury w inwersji, rozwiązanie wychodzi inne niż to, które otrzymuję z obliczeń. Dodam, że zawsze tak jest, gdy wezmę okrąg inwersyjny o środku różnym od \(\displaystyle{ 0+0i}\).
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Okrąg i prosta w inwersji na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: janusz47 »

Jeżeli wykonamy wykresy tych dwóch okręgów, to widzimy, że okrąg, którego obraz mamy znaleźć leży poza okręgiem inwersyjnym - względem którego znajdujemy obraz (jest do niego zewnętrznie styczny).

Zgodnie z konstrukcją inwersji jego obrazem jest okrąg leżący wewnątrz koła ograniczonego okręgiem inwersyjnym.

Okrąg o równaniu \(\displaystyle{ \left(a - \frac{3}{2}\right)^2 + b^2 = \frac{1}{4}}\) spełnia warunki konstrukcji.
ODPOWIEDZ