Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej...

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
grenda1999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 13 sty 2019, o 18:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 25 razy

Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej...

Post autor: grenda1999 »

Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej poniższe zbiory:

\(\displaystyle{ a) \ A= \left\{ z \in \CC: \ \Re \left( z^{4} \right) -|z|^{2}\Im \left( z^{2} \right) \le 0 \right\} \\
b) \ B= \left\{ z \in \CC: \ \frac{-\pi}{2} \le Arg \left[ \left( z-iz \right) ^{2} \right] \le 0 \right\}}\)


Chciałbym się upewnić wyników lub jeżeli są złe proszę o pomoc.
W \(\displaystyle{ a)}\) doprowadziłem do \(\displaystyle{ 2\sin^{2} \left( 2\alpha \right) + \sin \left( 2\alpha \right) -1 \ge 0}\) z czego otrzymałem \(\displaystyle{ \alpha \in \left( \frac{\pi}{12}+k\pi, \ \frac{5\pi}{12}+k\pi \right) , \ k \in \ZZ}\)
W \(\displaystyle{ b)}\) doprowadziłem do \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{2} \le Arg \left( 2|z|^{2} \left( \cos \left( \frac{3\pi}{2}-2\alpha \right) +i\sin \left( \frac{3\pi}{2}-2\alpha \right) \right) \right) \le 0}\) z czego otrzymałem \(\displaystyle{ \pi+k\pi \ge \alpha \ge \frac{3\pi}{4}+k\pi, \ k \in \ZZ}\)
Ostatnio zmieniony 22 lip 2019, o 18:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej...

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ \Re \left( z^{4} \right) -{\red |z|^{2}}\Im \left( z^{2} \right) \le 0}\)
To nie jest jakiś błąd w zapisie, tak miało być? Jeśli tak, to osoba układająca zadania (czy też zamieszczająca je) nie ma litości…
Ale nie pasuje to trochę do Twojego rozwiązania, które raczej sugeruje, że chodzi o coś w stylu
\(\displaystyle{ \Re \left( z^{4} \right) -\Im \left( z^{2} \right) \le 0}\), bo gdzieżby się to \(\displaystyle{ |z|^2}\) podziało.

Jeśli to \(\displaystyle{ |z|^2}\) nie było błędem, to dostaniesz raczej
\(\displaystyle{ 2\sin^2(2\alpha)+{\red |z|^2}\sin(2\alpha)-1\ge 0}\)
i ja tego zaznaczać na płaszczyźnie nie zamierzam, bo nie umiem. Można zrobić podstawienie za sinusa i rozwiązywać równanie kwadratowe traktując \(\displaystyle{ |z|^2}\) jak parametr, ale prędzej znajdę przyjaciół niż zaznaczę na płaszczyźnie rozwiązania tego.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej...

Post autor: kerajs »

Premislav pisze:
\(\displaystyle{ \Re \left( z^{4} \right) -{\red |z|^{2}}\Im \left( z^{2} \right) \le 0}\)
To nie jest jakiś błąd w zapisie, tak miało być? Jeśli tak, to osoba układająca zadania (czy też zamieszczająca je) nie ma litości…
Tak ma być, gdyż wtedy:
\(\displaystyle{ \Re \left| z\right|^4e^{i4 \alpha } -|z|^{2} \Im \left| z\right|^2e^{i2 \alpha }\le 0\\
|z|^{4}=0 \ \ \ \vee \ \ \ (2\sin 2\alpha -1)(\sin 2\alpha +1)=0}\)

W rozwiązaniu brakuje liczb dla których: \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ -\pi }{4} +k \pi}\)

b) Jak określacie przedział Arg(z) ?
Robiłbym tak:
\(\displaystyle{ \frac{- \pi }{2} \le 2( \alpha - \frac{ \pi }{4} ) \le 0\\
0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{4}}\)
grenda1999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 13 sty 2019, o 18:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 25 razy

Re: Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej...

Post autor: grenda1999 »

Premislav pisze:
\(\displaystyle{ \Re \left( z^{4} \right) -{\red |z|^{2}}\Im \left( z^{2} \right) \le 0}\)
To nie jest jakiś błąd w zapisie, tak miało być? Jeśli tak, to osoba układająca zadania (czy też zamieszczająca je) nie ma litości…
Ale nie pasuje to trochę do Twojego rozwiązania, które raczej sugeruje, że chodzi o coś w stylu
\(\displaystyle{ \Re \left( z^{4} \right) -\Im \left( z^{2} \right) \le 0}\), bo gdzieżby się to \(\displaystyle{ |z|^2}\) podziało.

Jeśli to \(\displaystyle{ |z|^2}\) nie było błędem, to dostaniesz raczej
\(\displaystyle{ 2\sin^2(2\alpha)+{\red |z|^2}\sin(2\alpha)-1\ge 0}\)
i ja tego zaznaczać na płaszczyźnie nie zamierzam, bo nie umiem. Można zrobić podstawienie za sinusa i rozwiązywać równanie kwadratowe traktując \(\displaystyle{ |z|^2}\) jak parametr, ale prędzej znajdę przyjaciół niż zaznaczę na płaszczyźnie rozwiązania tego.
Tak, dokładnie tak zostało to napisane, ja to rozpisałem w ten sposób, \(\displaystyle{ \Re \left( z^{4} \right) -\Im \left( z^{2} \right) \le 0 \Leftrightarrow \Re(|z|^{4}(\cos(4\alpha)+i\sin(4\alpha)))-|z|^{2}Im(|z|^{2}(\cos(2\alpha)+i\sin(2\alpha))) \le 0}\)
nie wiem dlaczego coś Ci tutaj nie pasuje, bo to dalej to \(\displaystyle{ |z|^{4}\cos(4\alpha)-|z|^{4}\sin(2\alpha) \le 0}\)?
Ostatnio zmieniony 22 lip 2019, o 19:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej...

Post autor: Premislav »

A, dobra, jest OK, przepraszam za zamieszanie, tak to jest, jak się nie pamięta, co to część rzeczywista i urojona.
grenda1999
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 13 sty 2019, o 18:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 25 razy

Re: Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej...

Post autor: grenda1999 »

kerajs pisze:
Premislav pisze:
\(\displaystyle{ \Re \left( z^{4} \right) -{\red |z|^{2}}\Im \left( z^{2} \right) \le 0}\)
To nie jest jakiś błąd w zapisie, tak miało być? Jeśli tak, to osoba układająca zadania (czy też zamieszczająca je) nie ma litości…
Tak ma być, gdyż wtedy:
\(\displaystyle{ \Re \left| z\right|^4e^{i4 \alpha } -|z|^{2} \Im \left| z\right|^2e^{i2 \alpha }\le 0\\
|z|^{4}=0 \ \ \ \vee \ \ \ (2\sin 2\alpha -1)(\sin 2\alpha +1)=0}\)

W rozwiązaniu brakuje liczb dla których: \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ -\pi }{4} +k \pi}\)

b) Jak określacie przedział Arg(z) ?
Robiłbym tak:
\(\displaystyle{ \frac{- \pi }{2} \le 2( \alpha - \frac{ \pi }{4} ) \le 0\\
0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{4}}\)
Co do podpunktu \(\displaystyle{ a)}\) masz rację brakuję tego rozwiązania, pomyłkę zrobiłem z zamknięciami, natomiast dla \(\displaystyle{ b)}\) określamy \(\displaystyle{ alpha in [0, 2pi)}\)

-- 22 lip 2019, o 18:05 --

Zauważyłem błąd w swoim, zaraz poprawię się.

-- 22 lip 2019, o 18:14 --

Twój podpunkt \(\displaystyle{ a)}\) jest dobrze, dziękuje za pomoc jedyne co, to ja dodałem takie coś \(\displaystyle{ k\pi \le \alpha \le \frac{\pi}{4}+k\pi}\)
Ostatnio zmieniony 22 lip 2019, o 22:51 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ