Wiedząc, że z jest liczba zespoloną o argumencie głównym...

[grenda1999]

Wiedząc, że \(\displaystyle{ z}\) jest liczba zespoloną o argumencie głównym \(\displaystyle{ \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \ \pi \right)}\) oraz o module \(\displaystyle{ |z| > 1}\), znajdź argument główny liczby zespolonej \(\displaystyle{ \frac{i\bar z z^{3}}{1-|z|^{2}}}\). Ja zacząłem następująco, poprawcie mnie jeżeli źle myślę.
\(\displaystyle{ \frac{i\bar z z^{3}}{1-|z|^{2}}=\frac{(\cos (\frac{\pi}{2})+i\sin (\frac{\pi}{2}))|z|(\cos (-\alpha)+i\sin (-\alpha))|z|^{3}(\cos (3\alpha)+i\sin (3\alpha))}{1-|z|^{2}}=\frac{|z|^{4}(\cos (2\alpha+\frac{\pi}{2})+i\sin (2\alpha+\frac{\pi}{2}))}{1-|z|^{2}}}\), ale nie wiem co dalej? czy precyzyjnie mamy określić argument główny czy tak jak \(\displaystyle{ z}\) w przedziale?

[Benny01]

Sprawdź kiedy Twój nowy kąt należy do przedziału \(\displaystyle{ [0, 2pi)}\) i napisz wnioski.

[Premislav]

Na razie przekształcenia są OK, tylko trzeba uważać na to, że w mianowniku jest liczba ujemna, w świetle założeń zadania bowiem \(\displaystyle{ |z|>1}\). Można temu zaradzić tak:
\(\displaystyle{ =\frac{|z|^{4}(\cos(2\alpha+\frac{\pi}{2})+i\sin(2\alpha+\frac{\pi}{2}))}{1-|z|^{2}}\\= \frac{|z|^4}{|z|^2-1}\cdot \left( \cos \pi+i\sin \pi\right)\left( \cos\left( 2\alpha+\frac \pi 2\right)+i\sin\left( 2\alpha+\frac \pi 2\right) \right)\\=\frac{|z|^4}{|z|^2-1}\left( \cos\left( 2\alpha+\frac 3 2\pi\right) +i\sin\left( 2\alpha+\frac 3 2\pi\right) \right)}\)
Na koniec warto pamiętać, że argument główny musi należeć do odpowiedniego przedziału, zależnie od umowy \(\displaystyle{ [-pi, pi)}\) bądź \(\displaystyle{ [0,2pi)}\) (zdaje się, jedna konwencja była u Lei, druga u Asha i Novingera, jak nie pomieszałem), czyli wynikiem niekoniecznie będzie
\(\displaystyle{ 2\alpha+\frac 3 2\pi}\), lecz, z uwagi na \(\displaystyle{ \alpha\in\left( \frac \pi 2, \pi\right)}\),
\(\displaystyle{ 2\alpha+\frac 3 2\pi-2\pi=2\alpha-\frac \pi 2}\) według tej drugiej konwencji, a według pierwszej sam sobie przelicz.

[grenda1999]

Z mojej ciekawości mógłbyś przedstawić to z 1 konwencją, ponieważ sam nie mogę dojść?

[Premislav]

Tu nie ma wielkiej filozofii, odejmujemy taką wielokrotność \(\displaystyle{ 2\pi}\) (to jest okres główny sinusa i cosinusa), by kąt wpadał do odpowiedniego przedziału. Skoro \(\displaystyle{ \alpha\in\left( \frac\pi 2, \pi\right)}\), to \(\displaystyle{ 2\alpha\in \left( \pi, 2\pi\right)}\)
oraz \(\displaystyle{ 2\alpha+\frac 3 2\pi\in \left( \frac 5 2\pi, \frac 7 2\pi\right)}\)
Musimy od tego odjąć taką wielokrotność \(\displaystyle{ 2\pi}\) (bo sinus i cosinus są okresowe z okresem głównym \(\displaystyle{ 2\pi}\)), by otrzymany kąt wpadał do przedziału \(\displaystyle{ left[ -pi, pi
ight)}\).
Czyli ma być
\(\displaystyle{ -\pi \le 2\alpha+\frac 3 2\pi-2k\pi<\pi}\), a skoro
\(\displaystyle{ 2\alpha+\frac 3 2\pi\in \left( \frac 5 2\pi, \frac 7 2\pi\right)}\), to wyróżniamy takie przypadki:
1) \(\displaystyle{ 2\alpha+\frac 3 2\pi \in \left( \frac 5 2\pi, 3\pi\right)}\), czyli
\(\displaystyle{ \alpha\in\left( \frac \pi 2, \frac 3 4\pi\right)}\).
Wówczas
\(\displaystyle{ \frac \pi 2<2\alpha+\frac 3 2\pi-2\pi<\pi}\), w szczególności więc
\(\displaystyle{ -\pi<2\alpha+\frac 3 2\pi-2\pi<\pi}\), czyli odpowiedzią jest wtedy
\(\displaystyle{ 2\alpha+\frac 3 2\pi-2\pi=2\alpha-\frac \pi 2}\).
2) \(\displaystyle{ 2alpha+frac 3 2pi in left( frac 5 2pi, 3pi
ight)in left[ 3pi, frac 7 2pi
ight)}\)
czyli \(\displaystyle{ alphain left[ frac 3 4pi, pi
ight)}\).
Wówczas mamy
\(\displaystyle{ -\pi\le 2\alpha+\frac 3 2\pi -4\pi<-\frac \pi 2}\), w szczególności zatem
\(\displaystyle{ -\pi\le 2\alpha+\frac 3 2\pi -4\pi<\pi}\)
i w tym przypadku odpowiedzią jest
\(\displaystyle{ 2\alpha+\frac 3 2\pi -4\pi=2\alpha-\frac 5 2\pi}\).