Podać liczbę rozwiązań równania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
lukasz988
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 23 cze 2019, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Podać liczbę rozwiązań równania

Post autor: lukasz988 » 23 cze 2019, o 20:52

Witam, mam takie zadanie. Nie mogę go rozgryźć, będę wdzięczny za objaśnienie krok po kroku jak to rozwiązać.
Podać liczbę rozwiązań równania :
\(\displaystyle{ 2^{6}+ (x+4)^{4}+ (x-3i)^{2}=0}\)
a) w zbiorze liczb rzeczywistych,
b) w zbiorze liczb zespolonych.
Za wszelką pomoc dziękuję
Ostatnio zmieniony 23 cze 2019, o 22:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18285
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3086 razy

Podać liczbę rozwiązań równania

Post autor: a4karo » 23 cze 2019, o 21:23

Z b) nie powinieneś mieć problemu.

W a) pomyśl co się dzieje z ostatnim składnikiem gdy \(\displaystyle{ x}\) jest rzeczywiste

lukasz988
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 23 cze 2019, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Podać liczbę rozwiązań równania

Post autor: lukasz988 » 23 cze 2019, o 23:04

Właśnie podpunkt a ogarnąłem, bo wtedy część urojona liczby zepolonej powinna wyjść 0. Z częścią urojoną liczby będzie tylko jeden składnik \(\displaystyle{ -6xi}\) , który ma być równy zero. Czyli za \(\displaystyle{ x}\) wstawiamy 0, lecz wtedy równanie będzie sprzeczne. Więc nie będziemy mieli rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. A nie mogę wpaść na rozwiązanie w zbiorze liczb zespolonych.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26509
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4437 razy

Re: Podać liczbę rozwiązań równania

Post autor: Jan Kraszewski » 23 cze 2019, o 23:09

A co wiesz o liczbie pierwiastków zespolonych wielomianu czwartego stopnia (o współczynnikach zespolonych)?

JK

lukasz988
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 23 cze 2019, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Podać liczbę rozwiązań równania

Post autor: lukasz988 » 24 cze 2019, o 14:25

Skoro wielomian czwartego stopnia o współczynnikach zespolonych, to będą 4 pierwiastki. Wystarczy, że jeden z nich będzie równy 0?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26509
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4437 razy

Re: Podać liczbę rozwiązań równania

Post autor: Jan Kraszewski » 24 cze 2019, o 15:38

lukasz988 pisze:Skoro wielomian czwartego stopnia o współczynnikach zespolonych, to będą 4 pierwiastki.
Tak.
lukasz988 pisze:Wystarczy, że jeden z nich będzie równy 0?

Co masz na myśli?

JK

lukasz988
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 23 cze 2019, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Podać liczbę rozwiązań równania

Post autor: lukasz988 » 24 cze 2019, o 18:34

Skoro całość ma być równa 0, to sobie pomyślałem że jeden z nich musi być równy zero.
Przykładowo mamy jakiś wielomian
\(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0}\)
\(\displaystyle{ W(x)=0 \Leftrightarrow (x-1)=0 \vee (x-2)=0 \vee (x-3)=0 \vee (x-4)=0}\)
W naszym przypadku będzie podobnie?
Tylko nie wiem w jaki sposób ma nam to pomóc.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9095
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1964 razy

Re: Podać liczbę rozwiązań równania

Post autor: Dasio11 » 24 cze 2019, o 19:03

lukasz988 pisze:Skoro wielomian czwartego stopnia o współczynnikach zespolonych, to będą 4 pierwiastki.
Suma krotności wszystkich pierwiastków to z pewnością \(\displaystyle{ 4}\), ale nie wynika z tego, że pierwiastków jest dokładnie tyle.

ODPOWIEDZ