Postać wykładnicza i trygonometryczna l. zespolonej

[Polma]

Witam, czy jest ktoś w stanie rozwiązać i wytłumaczyć poniższe zadania?

1.Przedstawić w postaci wykładniczej i trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ z=- \sqrt{3}+i}\)

2.Rozwiązać:
\(\displaystyle{ z^{2} -2z+5=0}\)

[Premislav]

1. Za trudne dla mnie.
2. To akurat proste, wystarczy wzór na kwadrat różnicy i różnicę kwadratów:
\(\displaystyle{ z^2-2z+5=(z-1)^2-(-4)=(z-1)^2-(2i)^2=(z-1-2i)(z-1+2i)}\)
i aby iloczyn liczb zespolonych był równy zero, któryś czynnik musi być równy zero, tj.
\(\displaystyle{ z=1+2i\vee z=1-2i}\).

[Bran]

1.
\(\displaystyle{ \left| z \right| = \sqrt{\left( - \sqrt{3} \right)^2 + 1^2 } = 2}\)


Z definicji funkcji trygonometrycznych:
\(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{- \sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin \phi = \frac{1}{2}}\)

Z tablic trygonometrycznych widać, że \(\displaystyle{ \phi = 150^o}\)

Postać trygonometryczna:

\(\displaystyle{ z = 2 \left( \cos 150^o + i \sin 150^o \right)}\)

Wiemy, że:
\(\displaystyle{ e^{i 150^o} = \cos 150^o + i \sin 150^o}\)

Więc postać wykładnicza:

\(\displaystyle{ z = 2e^{i 150^o}}\)

[Jan Kraszewski]

Używanie kątów w mierze stopniowej, a nie łukowej to jednak dość niestandardowe podejście. Dlatego zamiast \(\displaystyle{ \phi = 150^\circ}\) lepiej jest użyć \(\displaystyle{ \phi = \frac56 \pi}\).

JK

[Bran]

Jan Kraszewski
Prawda, dziękuję!

[Polma]

1. Za trudne dla mnie.
2. To akurat proste, wystarczy wzór na kwadrat różnicy i różnicę kwadratów:
\(\displaystyle{ z^2-2z+5=(z-1)^2-(-4)=(z-1)^2-(2i)^2=(z-1-2i)(z-1+2i)}\)
i aby iloczyn liczb zespolonych był równy zero, któryś czynnik musi być równy zero, tj.
\(\displaystyle{ z=1+2i\vee z=1-2i}\).

Mógłby ktoś rozpisać to przejście na \(\displaystyle{ (z-1)^2-(-4)}\) i z tego na \(\displaystyle{ (z-1)^2-(2i)^2}\) i to \(\displaystyle{ (z-1-2i)(z-1+2i)}\)?
Z czego to wynika?

[Jan Kraszewski]

Pierwsze z tego, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\) (co powinnaś wiedzieć...), drugie ze wzoru na różnicę kwadratów.

JK