Niech \(\displaystyle{ z=1+z_1}\), gdzie \(\displaystyle{ z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot i}\). Znaleźć takie najmniejsze \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ z^{n}}\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
Jedyną trudnością tego zadania jest znalezienie kąta. Próbowałem coś kombinować w postaci trygonometrycznej, ale nic mi to nie dało. Wolfram wskazuje, że kąt wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{8}}\). Zupełnie nie mam pomysłu jak mam uzyskać tę wartość.
Znaleźć n, dla której z^n jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Znaleźć n, dla której z^n jest liczbą rzeczywistą dodatn
\(\displaystyle{ z=1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot i}\)
a wtedy
\(\displaystyle{ z^2=(1+i)(1+ \sqrt{2} )}\)
a ta liczba ma argument \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) leży w rogu kwadratu. Wiedząc, że mnożenie liczb zespolonych sumuje ich argumentu wnioskiem jest to co mówi Wolfram.
a wtedy
\(\displaystyle{ z^2=(1+i)(1+ \sqrt{2} )}\)
a ta liczba ma argument \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) leży w rogu kwadratu. Wiedząc, że mnożenie liczb zespolonych sumuje ich argumentu wnioskiem jest to co mówi Wolfram.