Wzory trygonometryczne
: 3 cze 2019, o 20:59
Cześć,
mam takie pytanie ws. liczb zespolonych i wykorzystanie ich w trygonometrii.
Wiemy, że
\(\displaystyle{ e^{ix} = \cos (x) + i\sin (x)}\) .
Prowadzi to do
\(\displaystyle{ e^{ikx} = \cos (kx) + i\sin (kx) =(\cos (x) + i\sin (x))^k}\).
Przy założeniu, że \(\displaystyle{ k}\) jest naturalne mamy:
\(\displaystyle{ \cos(kx) = \Re[e^{ikx}]}\) i \(\displaystyle{ \sin(kx) = \Im[e^{ikx}]}\).
To z kolei może też nam podać wzór na sumę kątów czyli
\(\displaystyle{ \sin(x+y) = \Im[e^{i(y+x)}] = \Im[e^{ix}e^{iy}]}\)
i wielokrotność kąta. Analogicznie dla cosinusa.
Moje pytanie brzmi: jak mógłbym wyprowadzić wzory na np \(\displaystyle{ sin(x) + sin(y)}\)? wiem, że są wzory na sumę sinusów/cosinusów itp, jednak te wyprowadzenia wyżej są moim zdaniem o wiele szybsze i łatwiejsze (wymagają tylko znajomości trójkąta Pascala i podstawowych działań). Myślałem o sumowaniu \(\displaystyle{ \Re X + \Re Y}\), jednak nie pamiętam, czy w algebrze było to jakoś... definiowane?
mam takie pytanie ws. liczb zespolonych i wykorzystanie ich w trygonometrii.
Wiemy, że
\(\displaystyle{ e^{ix} = \cos (x) + i\sin (x)}\) .
Prowadzi to do
\(\displaystyle{ e^{ikx} = \cos (kx) + i\sin (kx) =(\cos (x) + i\sin (x))^k}\).
Przy założeniu, że \(\displaystyle{ k}\) jest naturalne mamy:
\(\displaystyle{ \cos(kx) = \Re[e^{ikx}]}\) i \(\displaystyle{ \sin(kx) = \Im[e^{ikx}]}\).
To z kolei może też nam podać wzór na sumę kątów czyli
\(\displaystyle{ \sin(x+y) = \Im[e^{i(y+x)}] = \Im[e^{ix}e^{iy}]}\)
i wielokrotność kąta. Analogicznie dla cosinusa.
Moje pytanie brzmi: jak mógłbym wyprowadzić wzory na np \(\displaystyle{ sin(x) + sin(y)}\)? wiem, że są wzory na sumę sinusów/cosinusów itp, jednak te wyprowadzenia wyżej są moim zdaniem o wiele szybsze i łatwiejsze (wymagają tylko znajomości trójkąta Pascala i podstawowych działań). Myślałem o sumowaniu \(\displaystyle{ \Re X + \Re Y}\), jednak nie pamiętam, czy w algebrze było to jakoś... definiowane?