\(\displaystyle{ \bullet}\) Po pierwsze \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \cos(x)}{x^2-4x+5} \mbox{d}x =\Re \left\{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x e^{ix}}{x^2-4x+5} \mbox{d}x \right\}}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Po drugie \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \alpha x}f(x) \mbox{d}x=2 \pi i\left( \text{suma Res } e^{i \alpha x}f(x) \text{ w biegunach z górnej półpłaszczyzny zespolonej} \right)}\)
Korzystając z wzoru na residua w biegunach jednokrotny wystarczy podstawić \(\displaystyle{ 2+i}\) do \(\displaystyle{ \frac{ze^{iz}}{2z-4}}\) (pochodna mianownika) co daje \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}-i \right)e^{-1+2i}}\). Wynikiem interesującej nas całki jest zatem:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Po drugie \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i \alpha x}f(x) \mbox{d}x=2 \pi i\left( \text{suma Res } e^{i \alpha x}f(x) \text{ w biegunach z górnej półpłaszczyzny zespolonej} \right)}\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) Analityczna w górnej półpłaszczyźnie z wyjątkiem skończonej liczby biegunów.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Bieguny nie leżą na prostej rzeczywistej.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Oraz gdy \(\displaystyle{ \left| e^{i \alpha z}f(z)\right| \le \frac{M}{|z|^{ k}}}\) (gdzie \(\displaystyle{ k >1}\) oraz \(\displaystyle{ M>0}\))
\(\displaystyle{ \bullet}\) Jeszcze powinno być \(\displaystyle{ \alpha >0}\) (ale tu jest \(\displaystyle{ \alpha =1}\))
Przy czym \(\displaystyle{ \left| e^{i \alpha z}\right| \le 1}\) gdy \(\displaystyle{ z}\) są z górnej płaszczyzny. Tylko może być problem ze znalezieniem odpowiedniego \(\displaystyle{ k}\). Bo to szacowanie powinno zajść dla \(\displaystyle{ k>1}\) a tu chyba zachodzi dla \(\displaystyle{ k=1}\) co nie pozwala zastosować tej postaci tw. o residuach. Czy na ten błąd chciałeś mi zwrócić uwagę Dasio11 ?
Chciałem zwrócić uwagę, że korzystając z nieklasycznego twierdzenia, które jest prawdziwe tylko w szczególnych przypadkach, należy przytaczać komplet założeń. Podany przez Ciebie fakt charakteryzuje się dużą wariantywnością, trudno więc odgadnąć, o który wariant chodzi.
pozostaje prawdziwy przy następujących założeniach:
\(\displaystyle{ \bullet}\)\(\displaystyle{ f(z)}\) jest analityczna w górnej półpłaszczyźnie z wyjątkiem skończonej liczby biegunów, które nie leżą na prostej rzeczywistej,
\(\displaystyle{ \bullet}\)\(\displaystyle{ f(z) \to 0}\) przy \(\displaystyle{ z \to \infty}\) i takim, że \(\displaystyle{ \mathrm{Im} \, z \ge 0}\),
co można wykazać nieznacznie większym nakładem pracy.
Ok czyli to co pisałem nie było takie złe... chociaż założenia pomyliłem za naprostowanie dziękuje.-- 2 cze 2019, o 22:27 --Zwykle kiedy piszesz pod moim rozwiązaniem kończy się to dramatyczną klęską mojego rozwiązania Więc i tu pouczony doświadczeniem przystąpiłem do szukania błędu.
