przekształcenie odcinka na płaszyźnie zespolonej.

[sportowiec1993]

Mam prośbę o pomoc przy rozwiązaniu następującego zadania:
mamy dwa punkty na płaszczyźnie zespolonej,
powiedzmy \(\displaystyle{ z_{1}=\left( x_{1} + i \cdot y_{1}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ z_{2}=\left( x_{2} + i \cdot y_{2}\right)}\)
Jak teraz zbadać, na co funkcja \(\displaystyle{ f(z)=z^{2}}\) przekształca odcinek łączący te 2 punkty?
(w odpowiedziach mam podane, że w łuk paraboliczny. Jednak nie do końca potrafię to pokazać).

Na razie udało mnie się tyle zrobić:
Odcinek łączący te 2 punkty ma postać:
\(\displaystyle{ z=\left( 1-t\right)z_{1} + tz_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 \le t \le 1}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ z^{2} = \left[\left( 1-t\right)z_{1} + tz_{2} \right]^{2}= \left[\left( 1-t\right) \cdot \left( x_{1} + i \cdot y_{1}\right) + t \cdot \left( x_{2} + i \cdot y_{2}\right) \right]^{2}}\)

\(\displaystyle{ z^{2} = \left( 1-t\right)^{2} \cdot \left( x_{1} + i \cdot y_{1}\right)^{2} + 2 \cdot \left( 1-t\right) \left( x_{1} + i \cdot y_{1}\right) \cdot t \cdot \left( x_{2} + i \cdot y_{2}\right)+t^{2} \cdot \left( x_{2} + i \cdot y_{2}\right)^{2}}\)

pytanie: czy ta droga rozwiązania jest poprawna? Do jakiej postaci powinienem dojść?

[Janusz Tracz]

pytanie: czy ta droga rozwiązania jest poprawna? Do jakiej postaci powinienem dojść?

Tak to dobra droga, jesteś już bardzo blisko do rozwiązania teraz wyznacz część rzeczywistą i urojoną wyrażania powstałego po podstawianiu \(\displaystyle{ z=\left( 1-t\right)z_{1} + tz_{2}}\) do \(\displaystyle{ z^2}\). To możesz interpretować jak krzywą parametryczną \(\displaystyle{ \Gamma}\). Można to nawet napisać jako:

\(\displaystyle{ \Gamma: \ \begin{cases} x(t)=\Re\left\{ \left( 1-t\right)^{2} \cdot \left( x_{1} + i \cdot y_{1}\right)^{2} + 2 \cdot \left( 1-t\right) \left( x_{1} + i \cdot y_{1}\right) \cdot t \cdot \left( x_{2} + i \cdot y_{2}\right)+t^{2} \cdot \left( x_{2} + i \cdot y_{2}\right)^{2}
\right\} \\ y(t)=\Im\left\{ \left( 1-t\right)^{2} \cdot \left( x_{1} + i \cdot y_{1}\right)^{2} + 2 \cdot \left( 1-t\right) \left( x_{1} + i \cdot y_{1}\right) \cdot t \cdot \left( x_{2} + i \cdot y_{2}\right)+t^{2} \cdot \left( x_{2} + i \cdot y_{2}\right)^{2}
\right\} \end{cases}}\)

gdzie \(\displaystyle{ t}\) przebiega \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\). Zbiór punktów z \(\displaystyle{ \Gamma}\) jest zbiorem powstałym z przekształcenia odcinka \(\displaystyle{ z_1z_2}\) (pod działaniem \(\displaystyle{ z^2}\) rzecz jasna).-- 17 maja 2019, o 23:16 --PS potem być może będzie można łatwo wyrugować \(\displaystyle{ t}\) jako funkcję \(\displaystyle{ t=t(x)}\) (lub \(\displaystyle{ t=t(y)}\) ) i kładąc to do drugiego równania dostać \(\displaystyle{ y=y(x)}\) (lub \(\displaystyle{ x=x(y)}\)). Ufając odpowiedzi spodziewać należy się jakiejś paraboli.

[sportowiec1993]

dzięki za podpowiedź
na początku może głupie pytanie, ale: jak w rzeczywistości wygląda równanie łuku parabolicznego?
Wpisując w internet znalazłem tylko, że albo jest to wycięty fragment paraboli, albo coś związanego z budownictwem

W każdym razie ciąg dalszy rozwiązania zadania wygląda u mnie tak:
\(\displaystyle{ z^{2} = \left( 1-t\right)^{2} \cdot \left( x_{1} + i \cdot y_{1}\right)^{2} + 2 \cdot \left( 1-t\right) \left( x_{1} + i \cdot y_{1}\right) \cdot t \cdot \left( x_{2} + i \cdot y_{2}\right)+t^{2} \cdot \left( x_{2} + i \cdot y_{2}\right)^{2}}\)
\(\displaystyle{ z^{2}= \left( 1-2t+t^{2}\right)\left( x_{1}^{2}+i \cdot 2x_{1}y_{1}-y_{1}^{2}\right)+2t \cdot (1-t) \cdot \left( x_{1}x_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})-y_{1}y_{2}\right)+t^{2}\left( x_{2}^{2}+i \cdot 2x_{2}y_{2}-y_{2}^{2}\right)}\) stąd:
\(\displaystyle{ Re\left( z^{2}\right) = x_{1}^{2}-2t \cdot x_{1}^{2}+t^{2} \cdot x_{1}^{2}-y_{1}^{2}+2t \cdot y_{1}^{2}-t^{2} \cdot y_{1}^{2}+2t \cdot x_{1}x_{2} -2t^{2} \cdot x_{1}x_{2}-2t \cdot y_{1}y_{2}+2t^{2} \cdot y_{1}y_{2}}\)

tylko tu jest jakiś chaos - da się coś z tym zrobić?

[Janusz Tracz]

jak w rzeczywistości wygląda równanie łuku parabolicznego?

Zdefiniuj rzeczywistość... w rzeczywistości jaką byłby na przykład kartezjański układ \(\displaystyle{ xy}\) równanie paraboli to \(\displaystyle{ y=ax^2+bx+c}\) przy czym można też powiedzieć, że dowolną parabolą jest translacja \(\displaystyle{ y=ax^2}\). A jak chciałbym być bardzo formalny i uwzględnić wszystkie translacje i obroty to parabolę można zdefiniować jako szczególny przypadek

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section

. Teraz można by to spróbować zapisać w postaci

\(\displaystyle{ \Re (z^2)=A_rt^2+B_rt+C_r}\)

(analogicznie \(\displaystyle{ \Im (z^2)=A_it^2+B_it+C_i}\)) gdzie \(\displaystyle{ A,B,C}\) zarówno dla części rzeczywistej i urojonej to jakieś wartości zależne od punktów \(\displaystyle{ z_1,z_2}\). Potem można rugować \(\displaystyle{ t}\) choć to raczej zadanie dla masochistów bo ilość nawiasów jakie trzeba wymnożyć przestaje być zdrowa. Może warto protestować z innymi reprezentacjami liczb zespolonych choć w tym momencie nie widzę jakiegoś sensownego usprawnienia idącego tą drogą.