Wyznaczanie pierwiastków (rozwiązywanie równania)

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Sakurzasty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 19 lis 2018, o 13:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Wyznaczanie pierwiastków (rozwiązywanie równania)

Post autor: Sakurzasty »

Witam,

proszę o pomoc z rozwiązaniem zadania. Mam podane rozwiązanie, lecz zupełnie nie rozumiem z czego ono wynika...

Zadanie
"Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ z ^{4}=(1-3i) ^{8}}\). Otrzymane pierwiastki zaznacz na płaszczyźnie zespolonej".

Rozumiem zredukowanie wzoru do postaci
\(\displaystyle{ z ^{4}=(1-3i) ^{8}=((1-3i) ^{2})^{4}=(-8-6i) ^{4}}\)

Intuicyjnie rozumiem, również, że jednym z pierwiastków równania jest \(\displaystyle{ e _{1}= -8-6i}\)

Nie rozumiem jednak wyliczenia drugiego oraz następnych pierwiastków przez użycie wyrażenia
\(\displaystyle{ e _{2}=(-8-6i) \cdot 1 \cdot e ^{i \frac{ \pi }{2} }=(-8-6i)\cdot i = 6-8i}\)

Czy to wynika z jakiegoś wzoru bądź innej własności?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wyznaczanie pierwiastków (rozwiązywanie równania)

Post autor: Premislav »

Jeżeli \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\), a \(\displaystyle{ w}\) jest ustaloną niezerową liczbą zespoloną, to rozwiązania w liczbach zespolonych równania \(\displaystyle{ z^n=w^n}\) są postaci
\(\displaystyle{ w\cdot\left( \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left( \frac{2k\pi}{n}\right) \right)}\), gdzie
\(\displaystyle{ k\in\left\{ 0,1, \ldots n-1\right\}}\).
Że spełniają one równanie, to można wywnioskować, bezpośrednio je podstawiając i korzystając ze wzoru de Moivre'a, natomiast że nie może być więcej, to wynika z zasadniczego twierdzenia algebry.

-- 25 kwi 2019, o 21:16 --

No i oczywiście ze wzoru Eulera jest też
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left( \frac{2k\pi}{n}\right) =e^{\frac{2k\pi i}{n}}}\)
ODPOWIEDZ