Wyznaczenie części rzeczywistej oraz urojonej

[Sakurzasty]

Witam,

proszę o sprawdzenie czy poprawnie rozwiązałem zadanie

Zadanie
"Wyznacz część rzeczywistą oraz urojoną liczby \(\displaystyle{ z}\):

\(\displaystyle{ z= \left( 1 + i\sqrt{3} \right) ^{15}}\)

I. Na początek wyliczyłem moduł \(\displaystyle{ z}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{ 1^{2} + \sqrt{3}^{2} } = 2}\)

II. Następnie wyliczyłem \(\displaystyle{ \cos \beta}\) oraz \(\displaystyle{ \sin \beta}\) (używam beta zamiast fi, gdyż nie znalazłem w latex symbolu dla tej litery ), a z tego wyznaczyłem samą \(\displaystyle{ \beta}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \beta = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \beta = \frac{ \pi }{3}}\)

III. Zapisałem wyrażenie w postaci trygonometrycznej i korzystając ze wzorów uzyskałem postać

\(\displaystyle{ z=2 \left( \cos \left( \frac{ \pi }{3} \right) +i \sin \left( \frac{ \pi }{3} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z ^{15} =2 ^{15} \left( \cos \left( 15 \cdot \frac{ \pi }{3} \right) +i \sin \left( 15 \cdot \frac{ \pi }{3} \right) \right) =2 ^{15} \left( \cos \left( \pi \right) +i \sin \left( \pi \right) \right) =-2 ^{15} +0i}\)

IV. A więc część rzeczywista wynosi \(\displaystyle{ -2 ^{15}}\), urojona natomiast \(\displaystyle{ 0}\).

[Rozbitek]

Nie rozumiem tego przejścia:

\(\displaystyle{ 2 ^{15} \left( \cos \left( 15 \cdot \frac{ \pi }{3} \right) +i \sin \left( 15 \cdot \frac{ \pi }{3} \right) \right) =2 ^{15} \left( \cos \left( \pi \right) +i \sin \left( \pi \right) \right)}\)

[Jan Kraszewski]

Okresowość sinusa i cosinusa.

JK