Wyznaczenie pierwiastków wielomianu

[Sakurzasty]

Witam,

proszę o sprawdzenie czy poprawnie rozwiązałem zadanie

Treść zadania
"Niech \(\displaystyle{ z_{0}=1 + 4i}\) będzie rozwiązaniem następującego równania, wyznacz wszystkie rozwiązania

\(\displaystyle{ W(z)=z^{4} -2z^{3} +19z^{2} -4z +34 = 0}\) "

I. Od razu mogę wyliczyć drugi pierwiastek, który jest sprzężeniem \(\displaystyle{ z_{0}}\). A więc \(\displaystyle{ z_{1}=1-4i}\)

II. Z twierdzenia Bezout wynika, że jeśli wielomian jest podzielny zarówno przez pierwszy pierwiastek oraz drugi to również jest podzielny przez ich iloczyn.
Iloczyn wynosi \(\displaystyle{ (z-(-1-4i))(z-(-1+4i)) = z^{2}-2z+17}\)

III. Iloczyn dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(z) \div (z^{2}-2z+17) = z^{2} + 2}\)

IV. Rozwiązałem równanie \(\displaystyle{ z^{2} + 2 = 0}\).
Delta wynosi \(\displaystyle{ -8 = (\sqrt{8}i)^{2}}\), a stąd wynikły mi pozostałe dwa pierwiastki
\(\displaystyle{ z_{2}=- \frac{\sqrt{8}i}{2} \\
z_{3}= \frac{\sqrt{8}i}{2}}\)

V. A więc wszystkie pierwiastki dla wielomianu to:
\(\displaystyle{ z_{0}=1 + 4i \\
z_{1}=1-4i \\
z_{2}=- \frac{\sqrt{8}i}{2}\\
z_{3}= \frac{\sqrt{8}i}{2}}\)

Będę bardzo wdzięczny za wskazanie błędów, jeśli takowe popełniłem

[MrCommando]

Generalnie to rozumowanie jest ok (o ile dobrze podzieliłeś te wielomiany, rachunków nie sprawdzałem). Co do \(\displaystyle{ z^2+2=0}\), to tą deltę można sobie darować, bo to szczególny przypadek równania kwadratowego. Skoro \(\displaystyle{ z^2=-2}\), to widać, że \(\displaystyle{ z=i\sqrt{2} \vee z=-i\sqrt{2}}\), tak moim zdaniem szybciej trochę - ale jeżeli tego nie widzisz, to nie neguję korzystania z delty generalnie.

[sdd1975]

Z delty jak najbardziej można skorzystać - w końcu muchę, jak trzeba, można zabić granatem Ale \(\displaystyle{ \sqrt{8}}\) to już brzydko zostawić