Mnożenie przez pierwiastki z jedynki

[min4max]

Witam
Mam rówaninie \(\displaystyle{ x^3 - 27x + 54 = 0}\)
Rozwiązując metodą cardano(Tak, wiem że to wyciąganie armaty na muchę w tym przypadku, ale na czymś trzeba poćwiczyć ) doszedłem do jednego rozwiązania \(\displaystyle{ x = -6}\)
Z tego co wiem, żeby otrzymać 2 pozostałe wyniki wystarczy pomnożyć wynik danego równania przez pierwiastki z jedynki, czyli \(\displaystyle{ \frac{-1 \pm i \sqrt{3} }{2}}\), jednak w tym przypadku to wydaje się nie działać

I tu moje pytania:
1. Czy żeby mnożenie przez te pierwiastki "działało" muszą być spełnione jakieś warunki? Np że równianie ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste?
2. Jeśli tak, to jak znajdę pozostałe rozwiązania? (czy da się to zrobić nie dzieląc równania wyjściowego przez \(\displaystyle{ x + x _{0}}\)?)

[Premislav]

czy da się to zrobić nie dzieląc równania wyjściowego przez \(\displaystyle{ x + x _{0}}\)?

Raczej \(\displaystyle{ x{\red-}x_0}\), poza tym ważnym szczegółem to działa.

Z tego co wiem, żeby otrzymać 2 pozostałe wyniki wystarczy pomnożyć wynik danego równania przez pierwiastki z jedynki

Nie. Chyba nie przeczytałeś uważnie artykułu o wzorach Cardana (albo nie zrozumiałem, co uznajesz za „wynik danego równania"). To nie \(\displaystyle{ -6}\) miałbyś pomnożyć przez pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki. ... no_formula

[min4max]

Dziękuje bardzo
Jeszcze jedno pytanie, czy bez liczenia delty da się jakoś stwierdzić czy wielomian 3 stopnia ma jakieś pierwiastki nie rzeczywiste?

[Premislav]

Hmm, nic lepszego na myśl mi nie przychodzi:
Jeżeli pochodna wielomianu trzeciego stopnia o współczynnikach rzeczywistych nie zmienia znaku (tj. jest stale niedodatnia lub stale nieujemna), to od razu wiadomo, że wielomian ten ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty (bo jest wtedy monotoniczny, więc różnowartościowy) i dwa pierwiastki zespolone nierzeczywiste będące wzajemnie liczbami sprzężonymi (tj. jeśli jeden jest postaci \(\displaystyle{ a+ib}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in \RR}\), to drugi ma postać \(\displaystyle{ a-ib}\)). Natomiast choć jest to warunek wystarczający, nie jest to warunek konieczny, by wielomian trzeciego stopnia miał pierwiastki nierzeczywiste. Kontrprzykładu mi się nie chce wymyślać (ale jest dla mnie intuicyjnie jasne, że taki istnieje), więc wpisywałem losowo do wolframa i oto:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3%2B3x%5E2-5

Ale pewnie można wymyślić coś lepszego, nie znam się za dobrze na równaniach wielomianowych.

[Tulio]

Nie trzeba delty. Twierdzenie Sturma mówi o tym ile pierwiastków rzeczywistych ma wielomian rzeczywisty (na danym przedziale, ale śmiało można przyjąć przedział \(\displaystyle{ \left( - \infty , \infty \right)}\)).

[Premislav]

Wielkie dzięki za uwagę o twierdzeniu Sturma, nie znałem go, natomiast to:

ale śmiało można przyjąć przedział \(\displaystyle{ \left( - \infty , \infty \right)}\)

jest ewidentna nieprawda (albo bardzo duży skrót myślowy, który może kogoś wprowadzić w błąd). Niemniej jednak rzeczywiście to twierdzenie pozwala odpowiedzieć na zadane pytanie, wystarczy przyjąć taki przedział, do którego muszą należeć wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu
\(\displaystyle{ W(x)=x^3-27x+54}\), np. \(\displaystyle{ [-10; 10]}\).

[Tulio]

jest ewidentna nieprawda (albo bardzo duży skrót myślowy, który może kogoś wprowadzić w błąd).

Wręcz przeciwnie. Jest to prawda. Ja miałem wprowadzone to twierdzenie również z nieskończonościami. Zależy nam tylko na zliczeniu ilości zmian znaku - śmiało możemy sprawdzić ilość zmian dla minus i plus nieskończoności.

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%27s_theorem#Example

[Premislav]

A to przepraszam.