Witam,
analizuję ostatnio dowód zasadniczego algebry w oparciu o twierdzenie Weierstrassa i mam problem ze zrozumieniem jednego z przejść w układzie nierówności w dowodzie podanym w linku poniżej
... /gauss.pdf
chodzi mi dokładnie o to dlaczego
\(\displaystyle{ |f(z _{0}) - |b _{k _{0}}| r ^{k _{0}}|= |f(z _{0})|- |b _{k _{0}}| r ^{k _{0}}}\)
(jest to przedostatnie przejście)
Z góry dziękuje za wszelką pomoc.
Zasadnicze twierdzenie algebry
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Zasadnicze twierdzenie algebry
Raczej:mat123 pisze:chodzi mi dokładnie o to dlaczego
\(\displaystyle{ |f(z _{0}) - |b _{k _{0}}| r ^{k _{0}}|= |f(z _{0})|- |b _{k _{0}}| r ^{k _{0}}}\)
(jest to przedostatnie przejście)
\(\displaystyle{ \left| f(z_0) + b_{k_0} r^{k_0} e^{i \phi k_0} \right| = \big| f(z_0) \big| - \big| b_{k_0} \big| r^{k_0}}\).
Wynika to z faktu, że jeśli dwie niezerowe liczby zespolone \(\displaystyle{ u, v \in \CC}\) mają argumenty różniące się o \(\displaystyle{ \pi}\) (czyli leżą na jednej prostej przechodzącej przez zero, ale po przeciwnych stronach zera) oraz \(\displaystyle{ |u| < |v|}\), to wtedy \(\displaystyle{ |v + u| = |v| - |u|}\).
Fakt stosujemy dla \(\displaystyle{ u = b_{k_0} r^{k_0} e^{i \phi k_0}}\) i \(\displaystyle{ v = f(z_0)}\), z tym, że w artykule najwyraźniej jest pomyłka, bo powinno być \(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi + \arg f(z_0) - \arg b_{k_0}}{k_0}}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ $ \begin{align*}
\arg u & = \arg b_{k_0} + \arg r^{k_0} + \phi k_0 = \arg b_{k_0} + 0 + \big( \pi + \arg f(z_0) - \arg b_{k_0} \big) \\
& = \pi + \arg f(z_0) = \pi + \arg v
\end{align*} $}\)
oraz \(\displaystyle{ |u| = |b_{k_0} r^{k_0}| < |v|}\) jeśli \(\displaystyle{ r}\) jest odpowiednio małe (bo \(\displaystyle{ k_0 > 0}\).
A idea w tym dowodzie jest właśnie taka, że w sumie \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n b_k r^k e^{i \phi k}}\) składnikiem wiodącym jest \(\displaystyle{ b_{k_0} r^{k_0} e^{i \phi k_0}}\), więc tak dobieramy \(\displaystyle{ \phi}\), żeby ten składnik leżał naprzeciwko \(\displaystyle{ f(z_0)}\) względem zera, bo wtedy jego dodanie zmniejszy moduł \(\displaystyle{ f(z_0)}\).