Ile
i) co najwyżej
ii) co najmniej
rozwiązań zespolonych może mieć równanie \(\displaystyle{ \overline{z}= az^3+bz^2+cz+d}\), gdy
\(\displaystyle{ a, b, c, d}\) to ustalone liczby rzeczywiste ?
Równanie i sprzężenie
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11378
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
Tulio
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 3 cze 2012, o 00:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 24 razy
Re: Równanie i sprzężenie
Dla \(\displaystyle{ a=b=c=d=0}\) mamy oczywiście jedno rozwiązanie.
i) Dla \(\displaystyle{ a=b=0}\) mamy nieskończenie wiele rozwiązań typu:
\(\displaystyle{ y= \frac{x-cx-d}{i\left( 1+c\right) }}\)
ii) Możemy udowodnić, że zawsze istnieje rozwiązanie (czyli że jest co najmniej jedno):
\(\displaystyle{ x-iy=a \left( x+iy\right) ^{3} +b \left( x+iy\right) ^{2}+c \left( x+iy\right) +d}\)
\(\displaystyle{ x-iy=ax^{3}+3ax^{2}yi-3axy^{2}-ay^{3}i+bx^{2}+2bxyi-by^{2}+cx+cyi+d}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = ax^3-3axy^2+bx^2-by^2+cx+d \\ -y=3ax^2y-ay^3+2bxy+cy \end{cases}}\)
Z drugiego równania mamy:
\(\displaystyle{ y\left( 3ax^2-ay^2+2bx+c+1\right) = 0}\)
stąd z pewnością \(\displaystyle{ y=0}\)
z pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ 0=ax^3+bx^2+x\left( c-1-3ay^2\right) +d}\)
podstawiając \(\displaystyle{ y=0}\) otrzymujemy wielomian rzeczywisty stopnia trzeciego zmiennej \(\displaystyle{ x}\), który zawsze ma co najmniej jedno rozwiązanie.
i) Dla \(\displaystyle{ a=b=0}\) mamy nieskończenie wiele rozwiązań typu:
\(\displaystyle{ y= \frac{x-cx-d}{i\left( 1+c\right) }}\)
ii) Możemy udowodnić, że zawsze istnieje rozwiązanie (czyli że jest co najmniej jedno):
\(\displaystyle{ x-iy=a \left( x+iy\right) ^{3} +b \left( x+iy\right) ^{2}+c \left( x+iy\right) +d}\)
\(\displaystyle{ x-iy=ax^{3}+3ax^{2}yi-3axy^{2}-ay^{3}i+bx^{2}+2bxyi-by^{2}+cx+cyi+d}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = ax^3-3axy^2+bx^2-by^2+cx+d \\ -y=3ax^2y-ay^3+2bxy+cy \end{cases}}\)
Z drugiego równania mamy:
\(\displaystyle{ y\left( 3ax^2-ay^2+2bx+c+1\right) = 0}\)
stąd z pewnością \(\displaystyle{ y=0}\)
z pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ 0=ax^3+bx^2+x\left( c-1-3ay^2\right) +d}\)
podstawiając \(\displaystyle{ y=0}\) otrzymujemy wielomian rzeczywisty stopnia trzeciego zmiennej \(\displaystyle{ x}\), który zawsze ma co najmniej jedno rozwiązanie.